题目
(5) lim _(narrow infty )dfrac ({(-2))^n+(3)^n}({(-2))^n+1+(3)^n+1} ,
题目解答
答案
解析
步骤 1：分子分母同时除以 $3^n$
将分子和分母同时除以 $3^n$，得到：
$$\dfrac {{(-2)}^{n}+{3}^{n}}{{(-2)}^{n+1}+{3}^{n+1}} = \dfrac {{(-\dfrac {2}{3})}^{n}+1}{(-2){(-\dfrac {2}{3})}^{n}+3}$$
步骤 2：计算极限
当 $n\rightarrow \infty$ 时，${(-\dfrac {2}{3})}^{n}\rightarrow 0$，因此：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{(-\dfrac {2}{3})}^{n}+1}{(-2){(-\dfrac {2}{3})}^{n}+3} = \dfrac {0+1}{(-2)\cdot 0+3} = \dfrac {1}{3}$$
将分子和分母同时除以 $3^n$，得到：
$$\dfrac {{(-2)}^{n}+{3}^{n}}{{(-2)}^{n+1}+{3}^{n+1}} = \dfrac {{(-\dfrac {2}{3})}^{n}+1}{(-2){(-\dfrac {2}{3})}^{n}+3}$$
步骤 2：计算极限
当 $n\rightarrow \infty$ 时，${(-\dfrac {2}{3})}^{n}\rightarrow 0$，因此：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{(-\dfrac {2}{3})}^{n}+1}{(-2){(-\dfrac {2}{3})}^{n}+3} = \dfrac {0+1}{(-2)\cdot 0+3} = \dfrac {1}{3}$$