题目
当 -4 leq x A. - ln (4 - x)B. - 4 ln (4 - x)C. - ln (1 - (x)/(4))D. ln (1 + (x)/(4))
当 $-4 \leq x < 4$ 时，幂级数 $\frac{x}{4} + \frac{x^2}{2 \cdot 4^2} + \frac{x^3}{3 \cdot 4^3} + \cdots + \frac{x^n}{n \cdot 4^n} + \cdots$ 的和函数是(）。
A. $- \ln (4 - x)$
B. $- 4 \ln (4 - x)$
C. $- \ln \left(1 - \frac{x}{4}\right)$
D. $\ln \left(1 + \frac{x}{4}\right)$
题目解答
答案
C. $- \ln \left(1 - \frac{x}{4}\right)$
解析
步骤 1：幂级数的表示
幂级数可以表示为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 4^n}$。为了简化计算，我们引入变量 $y = \frac{x}{4}$，则幂级数可以写为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n}$。
步骤 2：幂级数的和函数
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n}$ 的和函数是 $-\ln(1-y)$，当 $|y| < 1$ 时。这是因为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n}$ 是 $\ln(1-y)$ 的泰勒展开式，但符号相反。
步骤 3：代入 $y = \frac{x}{4}$
将 $y = \frac{x}{4}$ 代入 $-\ln(1-y)$，得到幂级数的和函数为 $-\ln\left(1 - \frac{x}{4}\right)$。由于 $-4 \leq x < 4$，则 $|y| = \left|\frac{x}{4}\right| < 1$，满足幂级数收敛的条件。
幂级数可以表示为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 4^n}$。为了简化计算，我们引入变量 $y = \frac{x}{4}$，则幂级数可以写为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n}$。
步骤 2：幂级数的和函数
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n}$ 的和函数是 $-\ln(1-y)$，当 $|y| < 1$ 时。这是因为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n}$ 是 $\ln(1-y)$ 的泰勒展开式，但符号相反。
步骤 3：代入 $y = \frac{x}{4}$
将 $y = \frac{x}{4}$ 代入 $-\ln(1-y)$，得到幂级数的和函数为 $-\ln\left(1 - \frac{x}{4}\right)$。由于 $-4 \leq x < 4$，则 $|y| = \left|\frac{x}{4}\right| < 1$，满足幂级数收敛的条件。