题目
19. (10.0分) 镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度与它的现存量R成正比.由经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量R_(0)的一半.试求镭的现存量R与时间t的函数关系
19. (10.0分) 镭的衰变有如下规律：镭的衰变速
度与它的现存量R成正比.由经验材料得知，镭经
过1600年后，只余原始量$R_{0}$的一半.试求镭的现
存量R与时间t的函数关系
题目解答
答案
设镭的现存量 $ R $ 与时间 $ t $ 的关系为 $ R = R(t) $。根据衰变规律，有：
\[
\frac{dR}{dt} = -\lambda R
\]
分离变量并积分得：
\[
\ln R = -\lambda t + C
\]
由初始条件 $ R(0) = R_0 $，得 $ C = \ln R_0 $，故：
\[
R = R_0 e^{-\lambda t}
\]
利用半衰期条件 $ R(1600) = \frac{1}{2} R_0 $，解得：
\[
\lambda = \frac{\ln 2}{1600}
\]
代入得最终关系：
\[
R = R_0 e^{-\frac{\ln 2}{1600} t} = R_0 \cdot 2^{-\frac{t}{1600}}
\]
或近似表示为：
\[
R = R_0 e^{-0.000433 t}
\]
**答案：**
\[
\boxed{R = R_0 e^{-\frac{\ln 2}{1600} t}}
\]
解析
步骤 1：建立微分方程
根据题目描述，镭的衰变速率与它的现存量 $R$ 成正比，可以建立微分方程： \[ \frac{dR}{dt} = -\lambda R \] 其中，$\lambda$ 是衰变常数，负号表示镭的存量随时间减少。
步骤 2：求解微分方程
对上述微分方程进行分离变量并积分： \[ \int \frac{1}{R} dR = -\lambda \int dt \] 得到： \[ \ln R = -\lambda t + C \] 其中，$C$ 是积分常数。
步骤 3：确定积分常数
利用初始条件 $R(0) = R_0$，代入上式得： \[ \ln R_0 = C \] 因此，积分常数 $C = \ln R_0$，代入上式得： \[ \ln R = -\lambda t + \ln R_0 \] 即： \[ R = R_0 e^{-\lambda t} \]
步骤 4：确定衰变常数
利用半衰期条件 $R(1600) = \frac{1}{2} R_0$，代入上式得： \[ \frac{1}{2} R_0 = R_0 e^{-\lambda \cdot 1600} \] 解得： \[ \lambda = \frac{\ln 2}{1600} \]
步骤 5：写出最终关系
将 $\lambda$ 的值代入 $R = R_0 e^{-\lambda t}$，得： \[ R = R_0 e^{-\frac{\ln 2}{1600} t} = R_0 \cdot 2^{-\frac{t}{1600}} \] 或近似表示为： \[ R = R_0 e^{-0.000433 t} \]
根据题目描述，镭的衰变速率与它的现存量 $R$ 成正比，可以建立微分方程： \[ \frac{dR}{dt} = -\lambda R \] 其中，$\lambda$ 是衰变常数，负号表示镭的存量随时间减少。
步骤 2：求解微分方程
对上述微分方程进行分离变量并积分： \[ \int \frac{1}{R} dR = -\lambda \int dt \] 得到： \[ \ln R = -\lambda t + C \] 其中，$C$ 是积分常数。
步骤 3：确定积分常数
利用初始条件 $R(0) = R_0$，代入上式得： \[ \ln R_0 = C \] 因此，积分常数 $C = \ln R_0$，代入上式得： \[ \ln R = -\lambda t + \ln R_0 \] 即： \[ R = R_0 e^{-\lambda t} \]
步骤 4：确定衰变常数
利用半衰期条件 $R(1600) = \frac{1}{2} R_0$，代入上式得： \[ \frac{1}{2} R_0 = R_0 e^{-\lambda \cdot 1600} \] 解得： \[ \lambda = \frac{\ln 2}{1600} \]
步骤 5：写出最终关系
将 $\lambda$ 的值代入 $R = R_0 e^{-\lambda t}$，得： \[ R = R_0 e^{-\frac{\ln 2}{1600} t} = R_0 \cdot 2^{-\frac{t}{1600}} \] 或近似表示为： \[ R = R_0 e^{-0.000433 t} \]