=dfrac (sqrt {1+x)-sqrt (1-x)}(sqrt {1+x)+sqrt (1-x)}

考查要点：本题主要考查分式化简中的分母有理化技巧，涉及平方差公式、完全平方公式的应用，以及代数式的化简能力。

解题核心思路：
当分子和分母均为根号表达式的加减形式时，通常通过分子分母同乘以分子或分母的共轭来消除根号，简化表达式。本题的关键在于选择分子的共轭进行有理化，从而将分母转化为多项式形式，进一步展开并约分。

破题关键点：

1. 识别分式结构：分子为$\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}$，分母为$\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}$。
2. 选择共轭形式：通过分子分母同乘以$\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}$，利用平方差公式简化分母。
3. 展开并化简：分子需展开平方项，分母通过平方差公式化简，最终约分得到最简形式。

步骤1：分子分母同乘以分子的共轭
将分子和分母同时乘以$\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}$，即：
$y = \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} \cdot \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}.$

步骤2：展开分母（平方差公式）
分母部分展开为：
$(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}) = (\sqrt{1+x})^2 - (\sqrt{1-x})^2 = (1+x) - (1-x) = 2x.$

步骤3：展开分子（完全平方公式）
分子部分展开为：
$(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})^2 = (\sqrt{1+x})^2 - 2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x} + (\sqrt{1-x})^2 = (1+x) - 2\sqrt{1-x^2} + (1-x) = 2 - 2\sqrt{1-x^2}.$

步骤4：约分并化简
将分子和分母代入原式，得到：
$y = \frac{2 - 2\sqrt{1-x^2}}{2x} = \frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x}.$