题目
3.计算下列二重积分:-|||-(1)∫xy^2 dσ,其中D是由抛物线 ^2=2px 与直线 =dfrac (p)(2)(pgt 0) 所围成-|||-的区域;-|||-y4-|||-a (a,a)-|||-O a x-|||-图 21-10-|||-(2) int ((x)^2+(y)^2)dalpha 其中 = (x,y)|0leqslant xleqslant 1,sqrt {x)leqslant yleqslant 2sqrt (x)} ;-|||-(3) int dfrac (dx)(sqrt {2a-x)}(agt 0), 其中D为图 21-10 中阴影部分;-|||-(4) iint sqrt (x)dx, 其中 = (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant x} ,
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算二重积分 $\iint xy^2 d\sigma$
根据题意，D是由抛物线 ${y}^{2}=2px$ 与直线 $x=\dfrac {p}{2}$ 所围成的区域。因此，积分区域D可以表示为 $0\leqslant x\leqslant \dfrac {p}{2}$ 和 $-\sqrt{2px}\leqslant y\leqslant \sqrt{2px}$。因此，二重积分可以表示为：
$$\iint xy^2 d\sigma = \int_{0}^{\frac{p}{2}}\int_{-\sqrt{2px}}^{\sqrt{2px}} xy^2 dy dx$$
步骤 2：计算二重积分 $\iint ({x}^{2}+{y}^{2})d\sigma$
根据题意，D是由 $0\leqslant x\leqslant 1$ 和 $\sqrt {x}\leqslant y\leqslant 2\sqrt {x}$ 所围成的区域。因此，二重积分可以表示为：
$$\iint ({x}^{2}+{y}^{2})d\sigma = \int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}} (x^2+y^2) dy dx$$
步骤 3：计算二重积分 $\iint \dfrac {d}{\sqrt {2a-x}}$
根据题意，D为图 21-10 中阴影部分。因此，二重积分可以表示为：
$$\iint \dfrac {d}{\sqrt {2a-x}} = \int_{0}^{a}\int_{0}^{a-x} \dfrac {1}{\sqrt {2a-x}} dy dx$$
步骤 4：计算二重积分 $\iint \sqrt {x}d\sigma$
根据题意，D是由 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant x$ 所围成的区域。因此，二重积分可以表示为：
$$\iint \sqrt {x}d\sigma = \int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{x-x^2}}^{\sqrt{x-x^2}} \sqrt{x} dy dx$$
根据题意，D是由抛物线 ${y}^{2}=2px$ 与直线 $x=\dfrac {p}{2}$ 所围成的区域。因此，积分区域D可以表示为 $0\leqslant x\leqslant \dfrac {p}{2}$ 和 $-\sqrt{2px}\leqslant y\leqslant \sqrt{2px}$。因此，二重积分可以表示为：
$$\iint xy^2 d\sigma = \int_{0}^{\frac{p}{2}}\int_{-\sqrt{2px}}^{\sqrt{2px}} xy^2 dy dx$$
步骤 2：计算二重积分 $\iint ({x}^{2}+{y}^{2})d\sigma$
根据题意，D是由 $0\leqslant x\leqslant 1$ 和 $\sqrt {x}\leqslant y\leqslant 2\sqrt {x}$ 所围成的区域。因此，二重积分可以表示为：
$$\iint ({x}^{2}+{y}^{2})d\sigma = \int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}} (x^2+y^2) dy dx$$
步骤 3：计算二重积分 $\iint \dfrac {d}{\sqrt {2a-x}}$
根据题意，D为图 21-10 中阴影部分。因此，二重积分可以表示为：
$$\iint \dfrac {d}{\sqrt {2a-x}} = \int_{0}^{a}\int_{0}^{a-x} \dfrac {1}{\sqrt {2a-x}} dy dx$$
步骤 4：计算二重积分 $\iint \sqrt {x}d\sigma$
根据题意，D是由 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant x$ 所围成的区域。因此，二重积分可以表示为：
$$\iint \sqrt {x}d\sigma = \int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{x-x^2}}^{\sqrt{x-x^2}} \sqrt{x} dy dx$$