26. (4.0分) lim_(ntoinfty)(1+2+3+...+n)/(2n^2)=____.(答案若非整数则输入最简分数，例如：(a)/(b)输入为a/b)

本题考查数列极限的计算，解题思路是先利用等差数列求和公式求出分子的和，再化简式子，最后根据极限的运算法则求出极限值。

1. 求分子的和：
   已知分子为$1 + 2 + 3 + \cdots + n$，这是一个首项$a_1 = 1$，末项$a_n = n$，项数为$n$的等差数列。
   根据等差数列求和公式$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，可得$1 + 2 + 3 + \cdots + n=\frac{n(1 + n)}{2}$。
2. 化简原式：
   将分子的和代入原式$\lim_{n\to\infty}\frac{1 + 2 + 3 + \cdots + n}{2n^2}$，得到$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n(n + 1)}{2}}{2n^2}$。
   根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，则$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n(n + 1)}{2}}{2n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n + 1)}{2\times2n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n + 1)}{4n^2}$。
3. 进一步化简式子：
   对$\frac{n(n + 1)}{4n^2}$进行化简，分子分母同时约去$n$，得到$\frac{n + 1}{4n}$，再将其拆分为$\frac{n}{4n}+\frac{1}{4n}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4n}$。
   所以$\lim_{n\to\infty}\frac{n(n + 1)}{4n^2}=\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{4}+\frac{1}{4n})$。
4. 求极限值：
   根据极限的加法运算法则$\lim_{n\to\infty}(a_n + b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n$，可得$\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{4}+\frac{1}{4n})=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4n}$。
   因为常数的极限就是其本身，所以$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$。
   当$n\to\infty$时，分母$4n\to\infty$，则$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4n}=0$。
   所以$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4n}=\frac{1}{4}+0=\frac{1}{4}$。