下列函数中既是奇函数,又是单调增加的是（A. sin^3xB. x^3+1C. x^3+xD. x^3-x

考查要点：本题主要考查奇函数的判定和函数单调性的判断，需要综合运用函数的基本性质进行分析。

解题核心思路：

1. 奇函数的判定：验证是否满足$f(-x) = -f(x)$。
2. 单调性的判定：通过求导判断导数是否始终非负（单调递增）。

破题关键点：

• 奇函数的代数验证：逐一代入选项，检查是否满足奇函数定义。
• 导数的符号分析：对每个选项求导，判断导数是否恒为正。

选项分析

A. $\sin^3 x$

1. 奇函数验证：
   $\sin(-x) = -\sin x \Rightarrow \sin^3(-x) = (-\sin x)^3 = -\sin^3 x$，满足奇函数。
2. 单调性分析：
   导数为$3\sin^2 x \cos x$，$\cos x$的正负会影响导数符号，因此不单调递增。

B. $x^3 + 1$

1. 奇函数验证：
   $f(-x) = (-x)^3 + 1 = -x^3 + 1 \neq -f(x)$，不是奇函数。

C. $x^3 + x$

1. 奇函数验证：
   $f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x) = -f(x)$，满足奇函数。
2. 单调性分析：
   导数为$3x^2 + 1$，因$x^2 \geq 0$，故$3x^2 + 1 \geq 1 > 0$，单调递增。

D. $x^3 - x$

1. 奇函数验证：
   $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$，满足奇函数。
2. 单调性分析：
   导数为$3x^2 - 1$，当$x^2 < \frac{1}{3}$时，导数为负，不单调递增。