当x to 0时，已知sqrt[3](1 + ax^2) - 1与tan^2 x是等价无穷小，则a的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4

本题考查等价无穷小的概念以及等价无穷小替换的应用。解题的关键思路是利用等价无穷小的定义，即当两个无穷小量在某一过程中比值的极限为$1$时，它们是等价无穷小，然后结合常见的等价无穷小替换来求解$a$的值。

已知当$x \to 0$时，$\sqrt[3]{1 + ax^2} - 1$与$\tan^2 x$是等价无穷小，根据等价无穷小的定义可得：
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + ax^2} - 1}{\tan^2 x} = 1$

当$x \to 0$时，有两个常见的等价无穷小：

• $\sqrt[n]{1 + x} - 1\sim\frac{1}{n}x$，所以当$x \to 0$时，$\sqrt[3]{1 + ax^2} - 1\sim\frac{1}{3}ax^2$。
• $\tan x\sim x$，所以当$x \to 0$时，$\tan^2 x\sim x^2$。

将上述等价无穷小替换代入原式可得：
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + ax^2} - 1}{\tan^2 x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}ax^2}{x^2}$

对$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}ax^2}{x^2}$进行化简计算：
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}ax^2}{x^2}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{3}a=\frac{1}{3}a$

因为$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + ax^2} - 1}{\tan^2 x} = 1$，所以$\frac{1}{3}a = 1$。
求解上述方程可得：
$a = 1\times3 = 3$