6． 当 |z|≤1 时，求 |zn+a| 的最大值，其中 n 为正整数， a 为复数。

考查要点：本题主要考查复数模的性质、三角不等式及其等号成立条件的应用。

解题核心思路：

1. 利用三角不等式将目标表达式拆分为两个模的和；
2. 结合条件$|z| \leq 1$，分析$|z^n|$的最大值；
3. 通过构造特定方向的复数$z$，验证等号成立的条件。

破题关键点：

• 三角不等式的应用：$|z^n + a| \leq |z^n| + |a|$；
• $|z^n|$的最大值：当$|z|=1$时，$|z^n|=1$；
• 方向对齐：当$z^n$与$a$同方向时，和的模达到最大值。

步骤1：应用三角不等式
根据三角不等式，对任意复数$z$和$a$，有：
$|z^n + a| \leq |z^n| + |a|.$

步骤2：分析$|z^n|$的范围
由条件$|z| \leq 1$，得：
$|z^n| = |z|^n \leq 1^n = 1.$

步骤3：确定上界
将上述结果代入三角不等式：
$|z^n + a| \leq 1 + |a|.$

步骤4：验证等号成立条件
当且仅当存在$z$使得：

1. $|z|=1$（此时$|z^n|=1$）；
2. $z^n$与$a$同方向（即存在$\theta$，使得$z^n = \frac{|a|}{|a|} e^{i\theta}$）。

此时，$z^n + a$的模为$1 + |a|$，即上界可达。