题目
6． 当 |z|≤1 时，求 |zn+a| 的最大值，其中 n 为正整数， a 为复数。
6． 当 |z|≤1 时，求 |zn+a| 的最大值，其中 n 为正整数， a 为复数。
题目解答
答案
解： |zn+a|≤|zn|+|a|=|z|n+|a|∵|z|≤1 ∴|z|n≤1 ⇒ |z|n+|a|≤1+|a| 即 |zn+a|≤1+|a||zn+a| 的最大值是 1+|a|
解析
步骤 1：利用三角不等式
根据三角不等式，对于任意复数 \(z\) 和 \(a\)，有 \(|z^n + a| \leq |z^n| + |a|\)。
步骤 2：计算 \(|z^n|\)
由于 \(|z| \leq 1\)，则 \(|z^n| = |z|^n \leq 1^n = 1\)。
步骤 3：确定最大值
结合步骤 1 和步骤 2，我们得到 \(|z^n + a| \leq 1 + |a|\)。因此，当 \(|z| = 1\) 时，\(z^n\) 的模为 1，此时 \(|z^n + a|\) 可以达到最大值 \(1 + |a|\)。
根据三角不等式，对于任意复数 \(z\) 和 \(a\)，有 \(|z^n + a| \leq |z^n| + |a|\)。
步骤 2：计算 \(|z^n|\)
由于 \(|z| \leq 1\)，则 \(|z^n| = |z|^n \leq 1^n = 1\)。
步骤 3：确定最大值
结合步骤 1 和步骤 2，我们得到 \(|z^n + a| \leq 1 + |a|\)。因此，当 \(|z| = 1\) 时，\(z^n\) 的模为 1，此时 \(|z^n + a|\) 可以达到最大值 \(1 + |a|\)。