题目

2. 已知alpha_(1),alpha_(2),beta,gamma均为3维列向量，又A=(alpha_(1),alpha_(2),beta)，B=(alpha_(1),alpha_(2),gamma)，若|A|=3,|B|=1, 则|A+2B|=____.

2. 已知$\alpha_{1},\alpha_{2},\beta,\gamma$均为3维列向量，又$A=(\alpha_{1},\alpha_{2},\beta)$，$B=(\alpha_{1},\alpha_{2},\gamma)$，若$|A|=3,|B|=1,$ 则$|A+2B|=$____.

题目解答

答案

为了求解 $ |A + 2B| $，我们首先需要明确 $ A $ 和 $ B $ 的定义以及它们的行列式值。已知 $ A = (\alpha_1, \alpha_2, \beta) $ 和 $ B = (\alpha_1, \alpha_2, \gamma) $，且 $ |A| = 3 $ 和 $ |B| = 1 $。 接下来，我们计算 $ A + 2B $。根据矩阵加法的定义，我们有： \[ A + 2B = (\alpha_1, \alpha_2, \beta) + 2(\alpha_1, \alpha_2, \gamma) = (\alpha_1 + 2\alpha_1, \alpha_2 + 2\alpha_2, \beta + 2\gamma) = (3\alpha_1, 3\alpha_2, \beta + 2\gamma). \] 现在，我们需要求 $ |A + 2B| $ 的值。行列式的性质之一是，如果矩阵的某一行（或列）乘以一个常数，那么行列式也乘以这个常数。因此，我们可以将 $ |A + 2B| $ 写为： \[ |A + 2B| = \left| \begin{array}{ccc} 3\alpha_1 & 3\alpha_2 & \beta + 2\gamma \end{array} \right| = 3^2 \left| \begin{array}{ccc} \alpha_1 & \alpha_2 & \beta + 2\gamma \end{array} \right| = 9 \left| \begin{array}{ccc} \alpha_1 & \alpha_2 & \beta + 2\gamma \end{array} \right|. \] 接下来，我们使用行列式的另一个性质，即行列式对列的线性性。这意味着： \[ \left| \begin{array}{ccc} \alpha_1 & \alpha_2 & \beta + 2\gamma \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} \alpha_1 & \alpha_2 & \beta \end{array} \right| + 2 \left| \begin{array}{ccc} \alpha_1 & \alpha_2 & \gamma \end{array} \right| = |A| + 2|B|. \] 将已知的 $ |A| = 3 $ 和 $ |B| = 1 $ 代入上式，我们得到： \[ \left| \begin{array}{ccc} \alpha_1 & \alpha_2 & \beta + 2\gamma \end{array} \right| = 3 + 2 \cdot 1 = 5. \] 因此， $ |A + 2B| $ 的值为： \[ |A + 2B| = 9 \cdot 5 = 45. \] 所以，最终答案是： \[ \boxed{45}. \]

解析

本题考查矩阵的运算以及行列式的性质。解题思路是先根据矩阵加法和数乘运算求出$A + 2B$，再利用行列式的性质逐步化简$\vert A + 2B\vert$，最后结合已知条件$\vert A\vert = 3$和$\vert B\vert = 1$计算出结果。

  1. 计算$A + 2B$：
    已知$A = (\alpha_1, \alpha_2, \beta)$，$B = (\alpha_1, \alpha_2, \gamma)$，根据矩阵加法和数乘运算规则可得：
    $A + 2B = (\alpha_1, \alpha_2, \beta) + 2(\alpha_1, \alpha_2, \gamma)$
    $= (\alpha_1 + 2\alpha_1, \alpha_2 + 2\alpha_2, \beta + 2\gamma)$
    $= (3\alpha_1, 3\alpha_2, \beta + 2\gamma)$
  2. 利用行列式性质化简$\vert A + 2B\vert$：
    根据行列式性质，若矩阵某一列乘以常数$k$，则行列式的值也乘以$k$。对于$\vert A + 2B\vert=\begin{vmatrix}3\alpha_1 & 3\alpha_2 & \beta + 2\gamma\end{vmatrix}$，第一列和第二列都乘以了$3$，所以可得：
    $\vert A + 2B\vert = 3^2\begin{vmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \beta + 2\gamma\end{vmatrix}= 9\begin{vmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \beta + 2\gamma\end{vmatrix}$
  3. 再次利用行列式性质化简$\begin{vmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \beta + 2\gamma\end{vmatrix}$：
    根据行列式对列的线性性质，即$\begin{vmatrix}\vec{a} & \vec{b} & \vec{c}+\vec{d}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{a} & \vec{b} & \vec{c}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\vec{a} & \vec{b} & \vec{d}\end{vmatrix}$，可得：
    $\begin{vmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \beta + 2\gamma\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \beta\end{vmatrix}+ 2\begin{vmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \gamma\end{vmatrix}$
    又因为$\begin{vmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \beta\end{vmatrix}=\vert A\vert$，$\begin{vmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \gamma\end{vmatrix}=\vert B\vert$，所以$\begin{vmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \beta + 2\gamma\end{vmatrix}=\vert A\vert + 2\vert B\vert$。
  4. 代入已知条件计算结果：
    已知$\vert A\vert = 3$，$\vert B\vert = 1$，则$\begin{vmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \beta + 2\gamma\end{vmatrix}= 3 + 2\times1 = 5$。
    将其代入$\vert A + 2B\vert = 9\begin{vmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \beta + 2\gamma\end{vmatrix}$可得：
    $\vert A + 2B\vert = 9\times5 = 45$