题目
7.16 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布,其能量表达式为-|||-=dfrac (1)(2m)(({p)_(x)}^2+({p)_(y)}^2+({p)_(2)}^2)+a(x)^2+bx-|||-其中a、b是常数,求粒子的平均能量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定玻耳兹曼分布
玻耳兹曼分布给出粒子在能量 $\varepsilon$ 处的概率密度为 $f(\varepsilon) = \frac{1}{Z} e^{-\varepsilon/kT}$，其中 $Z$ 是归一化因子，$k$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是温度。
步骤 2：计算归一化因子 $Z$
归一化因子 $Z$ 由所有可能状态的概率密度之和等于1确定，即 $Z = \int e^{-\varepsilon/kT} d\Gamma$，其中 $d\Gamma$ 是相空间体积元。对于给定的能量表达式，$Z$ 可以通过积分求得。
步骤 3：计算平均能量
平均能量 $\overline{\varepsilon}$ 由所有可能状态的能量乘以相应概率密度的积分确定，即 $\overline{\varepsilon} = \int \varepsilon f(\varepsilon) d\Gamma$。将玻耳兹曼分布代入，得到 $\overline{\varepsilon} = \frac{1}{Z} \int \varepsilon e^{-\varepsilon/kT} d\Gamma$。
步骤 4：计算具体积分
对于给定的能量表达式 $\varepsilon = \frac{1}{2m}(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) + ax^2 + bx$，计算归一化因子 $Z$ 和平均能量 $\overline{\varepsilon}$。由于 $p_x^2 + p_y^2 + p_z^2$ 的积分是各向同性的，可以简化为 $3$ 维的高斯积分。$ax^2 + bx$ 的积分可以通过完成平方和的方法简化。
步骤 5：简化并求解
将能量表达式代入平均能量的积分公式，利用高斯积分和完成平方和的方法，可以得到 $\overline{\varepsilon} = 2kT - \frac{b^2}{4a}$。
玻耳兹曼分布给出粒子在能量 $\varepsilon$ 处的概率密度为 $f(\varepsilon) = \frac{1}{Z} e^{-\varepsilon/kT}$，其中 $Z$ 是归一化因子，$k$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是温度。
步骤 2：计算归一化因子 $Z$
归一化因子 $Z$ 由所有可能状态的概率密度之和等于1确定，即 $Z = \int e^{-\varepsilon/kT} d\Gamma$，其中 $d\Gamma$ 是相空间体积元。对于给定的能量表达式，$Z$ 可以通过积分求得。
步骤 3：计算平均能量
平均能量 $\overline{\varepsilon}$ 由所有可能状态的能量乘以相应概率密度的积分确定，即 $\overline{\varepsilon} = \int \varepsilon f(\varepsilon) d\Gamma$。将玻耳兹曼分布代入，得到 $\overline{\varepsilon} = \frac{1}{Z} \int \varepsilon e^{-\varepsilon/kT} d\Gamma$。
步骤 4：计算具体积分
对于给定的能量表达式 $\varepsilon = \frac{1}{2m}(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) + ax^2 + bx$，计算归一化因子 $Z$ 和平均能量 $\overline{\varepsilon}$。由于 $p_x^2 + p_y^2 + p_z^2$ 的积分是各向同性的，可以简化为 $3$ 维的高斯积分。$ax^2 + bx$ 的积分可以通过完成平方和的方法简化。
步骤 5：简化并求解
将能量表达式代入平均能量的积分公式，利用高斯积分和完成平方和的方法，可以得到 $\overline{\varepsilon} = 2kT - \frac{b^2}{4a}$。