题目

2023.2.设函数f(x)=}cos x+xsin(x)/(x),x<0x^3+1,xgeq0,则点x=0是f(x)的（） A.无穷间断点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.连续点

2023.2.设函数$f(x)=\begin{cases}\cos x+x\sin\frac{x}{x},x<0\\x^{3}+1,x\geq0\end{cases}$,则点x=0是f(x)的（）
A.无穷间断点
B.可去间断点
C.跳跃间断点
D.连续点

题目解答

答案

为了确定函数 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的间断点类型，我们需要分析函数在 $ x = 0 $ 处的左极限、右极限以及函数在 $ x = 0 $ 处的值。函数 $ f(x) $ 定义为： \[ f(x) = \begin{cases} \cos x + x \sin \frac{x}{x}, & x < 0 \\ x^3 + 1, & x \geq 0 \end{cases} \] 首先，我们计算 $ x = 0 $ 处的右极限。对于 $ x \geq 0 $，函数为 $ f(x) = x^3 + 1 $。因此，右极限为： \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^3 + 1) = 0^3 + 1 = 1 \] 接下来，我们计算 $ x = 0 $ 处的左极限。对于 $ x < 0 $，函数为 $ f(x) = \cos x + x \sin \frac{x}{x} $。注意到 $ \sin \frac{x}{x} = \sin 1 $ 是一个常数。因此，左极限为： \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (\cos x + x \sin 1) = \cos 0 + 0 \cdot \sin 1 = 1 + 0 = 1 \] 现在，我们检查函数在 $ x = 0 $ 处的值。根据函数的定义，对于 $ x \geq 0 $， $ f(x) = x^3 + 1 $。因此， $ f(0) = 0^3 + 1 = 1 $。 由于左极限、右极限和函数在 $ x = 0 $ 处的值都相等，即： \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 1 \] 函数 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处是连续的。因此，点 $ x = 0 $ 是 $ f(x) $ 的连续点。 答案是：$\boxed{D}$

解析

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性判断，需要计算左右极限并比较其与函数值的关系。

解题核心思路：

  1. 判断连续性：需验证左极限、右极限存在且相等，且等于函数在该点的值。
  2. 化简表达式：注意当$x<0$时，$\sin\frac{x}{x}$中的$\frac{x}{x}=1$，因此$\sin\frac{x}{x}=\sin1$为常数。

破题关键点：

  • 正确计算左右极限：特别注意$x<0$时表达式的化简。
  • 比较极限与函数值：若三者相等则连续，否则根据差异判断间断类型。

计算右极限（$x \to 0^+$）

当$x \geq 0$时，$f(x) = x^3 + 1$，因此：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0^3 + 1 = 1$

计算左极限（$x \to 0^-$）

当$x < 0$时，$f(x) = \cos x + x \sin\frac{x}{x}$。由于$\frac{x}{x} = 1$（$x \neq 0$），故$\sin\frac{x}{x} = \sin1$为常数：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left( \cos x + x \sin1 \right) = \cos0 + 0 \cdot \sin1 = 1 + 0 = 1$

检查函数值$f(0)$

根据定义，$f(0) = 0^3 + 1 = 1$。

综合判断

左极限、右极限和$f(0)$均等于$1$，因此$f(x)$在$x=0$处连续。