2023.2.设函数f(x)=}cos x+xsin(x)/(x),xA. 无穷间断点B. 可去间断点C. 跳跃间断点D. 连续点

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性判断，需要计算左右极限并比较其与函数值的关系。

解题核心思路：

1. 判断连续性：需验证左极限、右极限存在且相等，且等于函数在该点的值。
2. 化简表达式：注意当$x<0$时，$\sin\frac{x}{x}$中的$\frac{x}{x}=1$，因此$\sin\frac{x}{x}=\sin1$为常数。

破题关键点：

• 正确计算左右极限：特别注意$x<0$时表达式的化简。
• 比较极限与函数值：若三者相等则连续，否则根据差异判断间断类型。

计算右极限（$x \to 0^+$）

当$x \geq 0$时，$f(x) = x^3 + 1$，因此：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0^3 + 1 = 1$

计算左极限（$x \to 0^-$）

当$x < 0$时，$f(x) = \cos x + x \sin\frac{x}{x}$。由于$\frac{x}{x} = 1$（$x \neq 0$），故$\sin\frac{x}{x} = \sin1$为常数：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left( \cos x + x \sin1 \right) = \cos0 + 0 \cdot \sin1 = 1 + 0 = 1$

检查函数值$f(0)$

根据定义，$f(0) = 0^3 + 1 = 1$。

综合判断

左极限、右极限和$f(0)$均等于$1$，因此$f(x)$在$x=0$处连续。