设随机变量sim N(1,1),概率密度为sim N(1,1),则( )A. sim N(1,1) B. sim N(1,1) C. sim N(1,1) D. sim N(1,1)

本题考查正态分布的对称性。关键点在于理解正态分布的密度函数和分布函数的对称轴位置由均值$\mu$决定。对于$X \sim N(1,1)$，其对称轴为$x=1$，而非原点。需逐一分析选项中关于对称性、概率值的描述是否符合这一特性。

选项分析

选项A

$P\{ X \leqslant 0 \} = P\{ X \geqslant 0 \} = 0.5$

• 错误。正态分布的对称轴为$x=1$，$x=0$位于均值左侧，因此$P\{ X \leqslant 0 \} < 0.5$，而$P\{ X \geqslant 0 \} > 0.5$。

选项B

$f(x) = f(-x)$，$x \in (-\infty, +\infty)$

• 错误。正态分布的密度函数关于$x=\mu$对称，即$f(x) = f(2 - x)$，而非关于原点对称。例如，$f(1 + a) = f(1 - a)$，但$f(a) \neq f(-a)$。

选项C

$P\{ X \leqslant 1 \} = P\{ X \geqslant 1 \} = 0.5$

• 正确。均值$\mu=1$是正态分布的对称轴，因此$X=1$左侧和右侧的概率各占一半。

选项D

$F(x) = F(-x)$，$x \in (-\infty, +\infty)$

• 错误。分布函数$F(x)$的对称性应满足$F(2 - x) = 1 - F(x)$，而非$F(x) = F(-x)$。例如，$F(1) = 0.5$，但$F(-1) \neq 0.5$。