求下列极限:lim _(xarrow +infty )(sqrt ({x)^2+x+1}-sqrt ({x)^2-x+1})

考查要点：本题主要考查无穷远处函数极限的计算，特别是处理根号相减型不定式的有理化方法。

解题核心思路：
当遇到形如 $\sqrt{A} - \sqrt{B}$ 的极限问题时，通常通过分子有理化（即乘以共轭表达式）消除根号差，将问题转化为更易处理的形式。关键步骤包括：

1. 有理化处理，将分子转化为多项式；
2. 化简表达式，通过分子分母同除以最高次项简化极限；
3. 代入极限，利用无穷远处低次项趋近于零的性质求解。

破题关键点：

• 识别“∞−∞”型不定式，选择有理化方法；
• 正确展开分子并化简分母，注意根号内多项式的分解；
• 极限运算中忽略高阶无穷小，简化表达式。

步骤1：分子有理化
原式为 $\lim _{x\rightarrow +\infty }(\sqrt {{x}^{2}+x+1}-\sqrt {{x}^{2}-x+1})$，
将分子和分母同时乘以共轭表达式 $\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2-x+1}$：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow +\infty } & \frac{(\sqrt{x^2+x+1} - \sqrt{x^2-x+1})(\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2-x+1})}{\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2-x+1}} \\&= \lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{(x^2+x+1) - (x^2-x+1)}{\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2-x+1}} \\&= \lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{2x}{\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2-x+1}}.\end{aligned}$

步骤2：分子分母同除以$x$
将分子和分母中的每一项除以$x$（注意$x \to +\infty$时$x > 0$）：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow +\infty } & \frac{2x}{\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2-x+1}} \\&= \lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}.\end{aligned}$

步骤3：代入极限
当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\frac{1}{x^2} \to 0$，因此：
$\sqrt{1 + 0 + 0} + \sqrt{1 - 0 + 0} = 1 + 1 = 2.$
最终结果为：
$\frac{2}{2} = 1.$