87.已知线性方程组 ) (x)_(1)+2(x)_(2)+(x)_(3)=3, 2(x)_(1)+(a+4)(x)_(2)-5(x)_(3)=6, -(x)_(1)-2(x)_(2)+a(x)_(3)=-3 分别是A属于特征值1, -1, 0的三个特征向量,求矩-|||-阵A.

题目考察知识

1. 线性方程组解的判定：通过增广矩阵的秩与系数矩阵的秩的关系，判断方程组有无穷多解的条件。
2. 矩阵特征值与特征向量的性质：特征向量线性无关的条件（不同特征值对应的特征向量线性无关）。
3. 矩阵相似对角化：利用可逆矩阵$P$将矩阵$A$对角化，即$P^{-1}AP=\Lambda$，从而求$A=P\Lambda P^{-1}$。

详细解题步骤

步骤1：求解线性方程组有无穷多解的参数$a$

给定线性方程组的增广矩阵$\overline{A}$：
$\overline{A}=\begin{pmatrix}1&2&1&3\\2&a+4&-5&6\\-1&-2&a&-3\end{pmatrix}$
通过初等行变换化为阶梯形：

• 第二行减去$2$倍第一行：$R_2\leftarrow R_2-2R_1$，得$(0,a-0,-7,-0)$（即$0,a,-7,0$）
• 第三行加上第一行：$R_3\leftarrow R_3+R_1$，得$(0,0,a+1,0)$

阶梯形矩阵为：
$\begin{pmatrix}1&2&1&3\\0&a&-7&0\\0&0&a+1&0\end{pmatrix}$
方程组有无穷多解等价于系数矩阵的秩$r(A)$等于增广矩阵的秩$r(\overline{A})$，且$r(A)<3$（未知数个数），故：

• $a=0$（此时第二行全为$0$，$r(A)=r(\overline{A})=2<3$）
• $a=-1$（此时第三行全为$0$，$r(A)=r(\overline{A})=2<3$）

步骤2：排除特征向量线性相关的$a$

矩阵$A$的三个特征向量分别对应特征值$1,-1,0$（不同特征值），必线性无关：

• 当$a=-1$时：特征向量为$(1,-2,-1)^T$、$(-1,2,1)^T$、$(-3,-1,0)^T$，显然前两个向量线性相关（倍数关系），舍去。
• 当$a=0$时：特征向量为$(1,0,-1)^T$、$(0,3,2)^T$、$(-2,-1,1)^T$，经检验线性无关，符合题意。

步骤3：利用相似对角化求矩阵$A$

取可逆矩阵$P=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]$（$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$为$a=0$时的特征向量）：
$P=\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&3&-1\\-1&2&1\end{pmatrix},\quad \Lambda=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$
则$A=P\Lambda P^{-1}$，计算$P^{-1}$并相乘得：
$A=\begin{pmatrix}-5&4&-6\\3&-3&3\\7&-6&8\end{pmatrix}$