用球坐标表示的场 E = e_r (25)/(r^2)。(1) 求在直角坐标中点 (-3, 4, -5) 处的 |E| 和 E_x；(2) 求在直角坐标中点 (-3, 4, -5) 处 E 与矢量 B = e_x 2 - e_y 2 + e_z 构成的夹角。

我们来一步一步地解决这个题目。

题目理解

给出的电场 $ E $ 是用球坐标表示的，形式为：

$E = e_r \frac{25}{r^2}$

其中 $ e_r $ 是球坐标系中沿径向的单位矢量，$ r $ 是球坐标中的径向距离（即从原点到某点的距离）。

我们要求的是在直角坐标系中点 $(-3, 4, -5)$ 处的：

1. 电场的大小 $|E|$ 和电场在 $x$ 方向的分量 $E_x$；
2. 电场 $E$ 与矢量 $B = 2e_x - 2e_y + e_z$ 的夹角。

第一步：将点 $(-3, 4, -5)$ 转换为球坐标

设直角坐标系中某点为 $(x, y, z)$，则对应的球坐标为：

• $ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $
• $ \theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right) $
• $ \phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $

代入 $ x = -3, y = 4, z = -5 $：

计算 $ r $：

$r = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

第二步：求电场 $ E $ 的大小和方向

电场为：

$E = e_r \frac{25}{r^2}$

代入 $ r = 5\sqrt{2} $，得：

$|E| = \frac{25}{r^2} = \frac{25}{(5\sqrt{2})^2} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$

所以电场的大小是：

$|E| = \frac{1}{2}$

第三步：求电场在直角坐标系中的分量

电场方向是球坐标系中的 $ e_r $，我们需要将它转换为直角坐标系的 $ e_x, e_y, e_z $ 分量。

球坐标中的 $ e_r $ 在直角坐标系中的表达式为：

$e_r = \frac{x}{r} e_x + \frac{y}{r} + \frac{z}{r} e_z$

所以：

$E = \frac{25}{r^2} \left( \frac{x}{r} e_x + \frac{y}{r} e_y + \frac{z}{r} e_z \right) = \frac{25}{r^3} (x e_x + y e_y + z e_z)$

代入 $ x = -3, y = 4, z = -5, r = 5\sqrt{2} $：

$E = \frac{25}{(5\sqrt{2})^3} (-3 e_x + 4 e_y - 5 e_z) = \frac{25}{125 \cdot 2\sqrt{2}} (-3 e_x + 4 e_y - 5 e_z) = \frac{1}{10\sqrt{2}} (-3 e_x + 4 e_y - 5 e_z)$

所以：

• $ E_x = \frac{1}{10\sqrt{2}} \cdot (-3) = -\frac{3}{10\sqrt{2}} $
• $ |E| = \frac{1}{2} $（已求）

第四步：求 $ E $ 与 $ B $ 的夹角

给定：

• $ E = \frac{1}{10\sqrt{2}} (-3 e_x + 4 e_y - 5 e_z) $
• $ B = 2 e_x - 2 e_y + e_z $

我们使用向量夹角公式：

$\cos\theta = \frac{E \cdot B}{|E||B|}$

先求点积 $ E \cdot B $：

$E \cdot B = \frac{1}{10\sqrt{2}} \left[ (-3)(2) + (4)(-2) + (-5)(1) \right] = \frac{1}{10\sqrt{2}} (-6 - 8 - 5) = \frac{-19}{10\sqrt{2}}$

再求 $ |B| $：

$|B| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

我们之前已经求出 $ |E| = \frac{1}{2} $

所以：

$\cos\theta = \frac{-19 / (10\sqrt{2})}{(1/2) \cdot 3} = \frac{-19 / (10\sqrt{2})}{3/2} = \frac{-19}{10\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{-38}{30\sqrt{2}} = \frac{-19}{15\sqrt{2}}$

最后：

$\theta = \arccos\left( \frac{-19}{15\sqrt{2}} \right)$

最终答案总结

(1) 在点 $(-3, 4, -5)$ 处：

• $|E| = \boxed{\frac{1}{2}}$
• $E_x = \boxed{-\frac{3}{10\sqrt{2}}}$

(2) 电场 $E$ 与矢量 $B$ 的夹角为：

$\theta = \boxed{\arccos\left( \frac{-19}{15\sqrt{2}} \right)}$

（也可用计算器计算出角度的近似值）