【例11.27】求幂级数sum_(n=0)^infty(1)/(n+1)x^n的和函数.

设幂级数和函数为 $S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} x^n$。 收敛域为 $[-1, 1)$，其中 $x = 1$ 时发散，$x = -1$ 时收敛。 考虑 $x S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$，求导得 \[ [x S(x)]' = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \quad (|x| < 1). \] 积分得 \[ x S(x) = \int_0^x \frac{1}{1-t} \, dt = -\ln(1-x). \] 故 \[ S(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x} \ln(1-x), & x \in [-1, 0) \cup (0, 1), \\ 1, & x = 0. \end{cases} \] \[ \boxed{ \begin{cases} -\frac{1}{x} \ln(1-x), & x \in [-1, 0) \cup (0, 1), \\ 1, & x = 0. \end{cases} } \]