例题 已知两带电细杆电荷线密度均为λ、长度为L,-|||-相距L,如图所示。 x'-|||-dx'-|||-求:两带电直杆间的电场力。-|||-0 k L 2L 3L x-|||-解:建立如图所示坐标系 x'-x-|||-在左、右两杆上分别选电荷元 =lambda dx-|||-.'=lambda dx'-|||-根据库仑定律 =dfrac (lambda dxlambda {x)^circ }(4pi {varepsilon )_(0)((x'-x))^2}-|||-3L-|||-F= '(int )_(0)^circ dfrac ({lambda )^2dx}(4pi {varepsilon )_(0)((x'-x))^2}=dfrac ({lambda )^2}(4pi {e)_(0)}ln dfrac (4)(3)

本题主要考察利用积分法计算两带电细杆间的电场力，核心思路是将连续带电体离散为电荷元，通过库仑定律计算微元力后积分求和。

关键分析

1. 坐标系建立：设左杆在$x\in[0\,L]$，右杆在$x'\in[L,2L]$（相距$L$），电荷元$dq=\lambda dx$，$dq'=\lambda dx'$。
2. 库仑定律应用：两电荷元间微元力$dF=\frac{k\frac{dq dq'}{(x'-x)^2}}$（$k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$）。
3. 积分计算：
   对左杆积分：$\int_0^L\frac{dx}{(x'-x)^2}=\left[\frac{1}{x'-x}\right]_0^L=\frac{1}{x'-L}-\frac{1}{x'}$
   对右杆积分：$\int_L^{2L}dF=\int_L^{2L}k\lambda^2\leftFF=k\lambda^2\int_L^{2L}\left(\frac{1}{x'-L}-\frac{1}{x'}\right)dx'=k\lambda^2\left[\ln(x'-L)-\ln x'\right]_L^{2L}=k\lambda^2\ln\frac{4}{3}$