34/47 判断题（分值2.0分，难度：易lim_(xtoinfty)(1+(1)/(2x))^x=1/2bigcirc错bigcirc对

本题考查重要极限公式$\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e$的应用。解题思路是通过对原式进行变形，使其符合重要极限公式的形式，然后利用该公式进行计算，最后将计算结果与题目所给结果进行比较，判断命题的对错。

1. 对原式进行变形：
   已知原式为$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^x$，为了构造出重要极限公式$\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t$的形式，我们将指数$x$变形为$2x\times\frac{1}{2}$，则原式可化为：
   $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{2x}\right)^{2x}\right]^{\frac{1}{2}}$
2. 进行变量代换：
   令$t = 2x$，当$x \to \infty$时，$t = 2x\to \infty$，此时原式变为：
   $\lim_{t \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{t}\right)^t\right]^{\frac{1}{2}}$
3. 利用极限运算法则计算：
   根据极限的运算法则$\lim_{t \to \infty} [f(t)]^n = [\lim_{t \to \infty} f(t)]^n$（$n$为常数），可得：
   $\lim_{t \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{t}\right)^t\right]^{\frac{1}{2}} = \left[\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t\right]^{\frac{1}{2}}$
   由重要极限公式$\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e$，则上式进一步计算为：
   $\left[\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t\right]^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$
4. 判断命题对错：
   因为$\sqrt{e} \neq \frac{1}{2}$，所以原命题“$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^x = \frac{1}{2}$”错误。