题目
26 设 f(x)= ^3), xgt 0 g(x)arcsin (x)^2, xleqslant 0 . 其中g(x)是有界函数,则f(x)在 x=0处-|||-(A)极限不存在. (B)极限存在,但不连续.-|||-(C)连续,但不可导. (D)可导.
题目解答
答案
C. 连续,但不可导.
解析
步骤 1：计算 x > 0 时的极限
当 x > 0 时，f(x) = $\dfrac {1-\cos {x}^{2}}{{x}^{3}}$。我们需要计算当 x 趋近于 0 时的极限。
利用等价无穷小的性质，当 x 趋近于 0 时，$1-\cos {x}^{2}$ 等价于 $\dfrac {1}{2}{x}^{4}$。因此，$\dfrac {1-\cos {x}^{2}}{{x}^{3}}$ 等价于 $\dfrac {\dfrac {1}{2}{x}^{4}}{{x}^{3}}$，即 $\dfrac {1}{2}x$。所以，当 x 趋近于 0 时，f(x) 的极限为 0。
步骤 2：计算 x ≤ 0 时的极限
当 x ≤ 0 时，f(x) = g(x)arcsin(x^2)x。由于 g(x) 是有界函数，当 x 趋近于 0 时，g(x) 的值是有界的。同时，arcsin(x^2) 在 x = 0 时的值为 0。因此，当 x 趋近于 0 时，f(x) 的极限为 0。
步骤 3：判断 f(x) 在 x = 0 处的连续性和可导性
由于当 x 趋近于 0 时，f(x) 的极限为 0，且 f(0) = 0，因此 f(x) 在 x = 0 处是连续的。但是，由于 f(x) 在 x = 0 处的导数不存在，因此 f(x) 在 x = 0 处不可导。
当 x > 0 时，f(x) = $\dfrac {1-\cos {x}^{2}}{{x}^{3}}$。我们需要计算当 x 趋近于 0 时的极限。
利用等价无穷小的性质，当 x 趋近于 0 时，$1-\cos {x}^{2}$ 等价于 $\dfrac {1}{2}{x}^{4}$。因此，$\dfrac {1-\cos {x}^{2}}{{x}^{3}}$ 等价于 $\dfrac {\dfrac {1}{2}{x}^{4}}{{x}^{3}}$，即 $\dfrac {1}{2}x$。所以，当 x 趋近于 0 时，f(x) 的极限为 0。
步骤 2：计算 x ≤ 0 时的极限
当 x ≤ 0 时，f(x) = g(x)arcsin(x^2)x。由于 g(x) 是有界函数，当 x 趋近于 0 时，g(x) 的值是有界的。同时，arcsin(x^2) 在 x = 0 时的值为 0。因此，当 x 趋近于 0 时，f(x) 的极限为 0。
步骤 3：判断 f(x) 在 x = 0 处的连续性和可导性
由于当 x 趋近于 0 时，f(x) 的极限为 0，且 f(0) = 0，因此 f(x) 在 x = 0 处是连续的。但是，由于 f(x) 在 x = 0 处的导数不存在，因此 f(x) 在 x = 0 处不可导。