1.下列各题中,哪些数列收敛,哪些数列发散?对收敛数列,通过观察x,的变化趋势.-|||-写出它们的极限:-|||-(1) dfrac {1)(2)} :-|||-(2) {(-1))^ndfrac (1)(n)} :-|||-(3) 2+dfrac {1)({n)^2}} :-|||-(4) dfrac {n-1)(n+1)} :-|||-(5) n(-1) :-|||-(6) dfrac {2-1)(3)} =-|||-(7) n-dfrac {1)(n)} :-|||-(8) [ {(-1))^n+1] dfrac (n+1)(n)} -

步骤 1：分析数列 $\{ \dfrac {1}{2}\}$
数列 $\{ \dfrac {1}{2}\}$ 是一个常数数列，每一项都是 $\dfrac {1}{2}$。因此，它收敛于 $\dfrac {1}{2}$。
步骤 2：分析数列 $\{ {(-1)}^{n}\dfrac {1}{n}\}$
数列 $\{ {(-1)}^{n}\dfrac {1}{n}\}$ 的每一项是 $(-1)^n$ 乘以 $\dfrac {1}{n}$。随着 $n$ 的增加，$\dfrac {1}{n}$ 趋向于 $0$，因此整个数列趋向于 $0$。所以，它收敛于 $0$。
步骤 3：分析数列 $\{ 2+\dfrac {1}{{n}^{2}}\}$
数列 $\{ 2+\dfrac {1}{{n}^{2}}\}$ 的每一项是 $2$ 加上 $\dfrac {1}{{n}^{2}}$。随着 $n$ 的增加，$\dfrac {1}{{n}^{2}}$ 趋向于 $0$，因此整个数列趋向于 $2$。所以，它收敛于 $2$。
步骤 4：分析数列 $\{ \dfrac {n-1}{n+1}\}$
数列 $\{ \dfrac {n-1}{n+1}\}$ 的每一项是 $\dfrac {n-1}{n+1}$。随着 $n$ 的增加，$\dfrac {n-1}{n+1}$ 趋向于 $1$。所以，它收敛于 $1$。
步骤 5：分析数列 $\{ n(-1)\}$
数列 $\{ n(-1)\}$ 的每一项是 $n$ 乘以 $(-1)$。随着 $n$ 的增加，$n(-1)$ 的绝对值趋向于无穷大，因此它发散。
步骤 6：分析数列 $\{ \dfrac {2-1}{3}\}$
数列 $\{ \dfrac {2-1}{3}\}$ 是一个常数数列，每一项都是 $\dfrac {1}{3}$。因此，它收敛于 $\dfrac {1}{3}$。
步骤 7：分析数列 $\{ n-\dfrac {1}{n}\}$
数列 $\{ n-\dfrac {1}{n}\}$ 的每一项是 $n$ 减去 $\dfrac {1}{n}$。随着 $n$ 的增加，$n-\dfrac {1}{n}$ 趋向于无穷大，因此它发散。
步骤 8：分析数列 $\{ [ {(-1)}^{n}+1] \dfrac {n+1}{n}\}$
数列 $\{ [ {(-1)}^{n}+1] \dfrac {n+1}{n}\}$ 的每一项是 $[ {(-1)}^{n}+1] \dfrac {n+1}{n}$。随着 $n$ 的增加，$\dfrac {n+1}{n}$ 趋向于 $1$，但是 $[ {(-1)}^{n}+1]$ 的值在 $0$ 和 $2$ 之间交替，因此整个数列没有一个确定的极限值。所以，它发散。