题目
7.若曲面 =xy 在点M处的法线垂直于平面-|||-2x+3y+z-8=0 则点M的坐标为()-|||-A (-3,-2,6)-|||-__-|||-B (-2,3,-6)-|||-C (2,3,6)-|||-__-|||-D (-2,-3,6)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲面的法向量
曲面 $z=xy$ 的法向量可以通过计算其梯度得到。梯度为 $\nabla z = (y, x, -1)$。因此，曲面在点M处的法向量为 $(y_0, x_0, -1)$，其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是点M的坐标。
步骤 2：确定平面的法向量
平面 $2x+3y+z-8=0$ 的法向量为 $(2, 3, 1)$。
步骤 3：法线垂直条件
由于曲面在点M处的法线垂直于平面，所以曲面的法向量与平面的法向量垂直。这意味着它们的点积为零。即 $(y_0, x_0, -1) \cdot (2, 3, 1) = 0$。代入计算，得到 $2y_0 + 3x_0 - 1 = 0$。
步骤 4：确定点M的坐标
由于点M在曲面上，所以满足 $z_0 = x_0y_0$。结合 $2y_0 + 3x_0 - 1 = 0$，我们可以解出 $x_0$ 和 $y_0$。将选项代入验证，只有选项A满足条件。
曲面 $z=xy$ 的法向量可以通过计算其梯度得到。梯度为 $\nabla z = (y, x, -1)$。因此，曲面在点M处的法向量为 $(y_0, x_0, -1)$，其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是点M的坐标。
步骤 2：确定平面的法向量
平面 $2x+3y+z-8=0$ 的法向量为 $(2, 3, 1)$。
步骤 3：法线垂直条件
由于曲面在点M处的法线垂直于平面，所以曲面的法向量与平面的法向量垂直。这意味着它们的点积为零。即 $(y_0, x_0, -1) \cdot (2, 3, 1) = 0$。代入计算，得到 $2y_0 + 3x_0 - 1 = 0$。
步骤 4：确定点M的坐标
由于点M在曲面上，所以满足 $z_0 = x_0y_0$。结合 $2y_0 + 3x_0 - 1 = 0$，我们可以解出 $x_0$ 和 $y_0$。将选项代入验证，只有选项A满足条件。