设函数y=y(x)是由方程1+xy=e∧x+y所确定，求y(0)的导数是多少

考查要点：本题主要考查隐函数求导法的应用，以及如何通过代入特定点求解导数值。

解题核心思路：

1. 确定初始值：将$x=0$代入原方程，求出对应的$y(0)$。
2. 隐函数求导：对原方程两边关于$x$求导，得到关于$y'$的表达式。
3. 代入求解：将$x=0$和$y(0)$代入导数表达式，解出$y'(0)$。

破题关键点：

• 隐函数求导的链式法则：对含有$y$的项求导时，需注意$y$是$x$的函数，导数中需包含$y'$。
• 代数变形：将求导后的方程整理为关于$y'$的线性方程，解出$y'$。

步骤1：求$y(0)$的值

将$x=0$代入原方程$1 + xy = e^{x+y}$：
$1 + 0 \cdot y(0) = e^{0 + y(0)} \implies 1 = e^{y(0)}.$
取自然对数得：
$\ln 1 = y(0) \implies y(0) = 0.$

步骤2：对原方程两边关于$x$求导

左边求导：
$\frac{d}{dx}(1 + xy) = y + x \frac{dy}{dx} = y + x y'.$

右边求导（链式法则）：
$\frac{d}{dx} e^{x+y} = e^{x+y} \cdot \frac{d}{dx}(x + y) = e^{x+y} (1 + y').$

步骤3：整理方程并代入$x=0$和$y(0)=0$

将两边导数相等：
$y + x y' = e^{x+y} (1 + y').$
代入$x=0$，$y=0$：
$0 + 0 \cdot y'(0) = e^{0+0} (1 + y'(0)) \implies 0 = 1 \cdot (1 + y'(0)).$
解得：
$y'(0) = -1.$