题目
21. (1.5分) 导数d/dx ln(x2)=() A. 2/x B. 1/x2 C. 1/2x D. 2xlnx
21. (1.5分) 导数d/dx ln(x2)=()
A. 2/x
B. 1/x2
C. 1/2x
D. 2xlnx
A. 2/x
B. 1/x2
C. 1/2x
D. 2xlnx
题目解答
答案
利用链式法则求导：
\[
\frac{d}{dx} \ln(x^2) = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}
\]
或者利用对数性质：
\[
\ln(x^2) = 2\ln|x| \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dx} [2\ln|x|] = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}
\]
（注意：$\ln|x|$ 的导数为 $\frac{1}{x}$，适用于 $x \neq 0$。）
答案：$\boxed{A}$
解析
本题考查复合函数的导数计算，核心在于正确应用链式法则或利用对数的运算性质简化求导过程。关键点在于：
- 识别复合函数结构：$\ln(x^2)$ 是外层对数函数与内层二次函数的复合。
- 选择合适方法：直接使用链式法则，或先通过对数性质将表达式化简为$2\ln|x|$再求导。
方法一：链式法则
- 设中间变量：令$u = x^2$，则原函数变为$\ln u$。
- 分步求导：
- 外层导数：$\frac{d}{du} \ln u = \frac{1}{u}$。
- 内层导数：$\frac{du}{dx} = 2x$。
- 链式法则合成：
$\frac{d}{dx} \ln(x^2) = \frac{1}{u} \cdot 2x = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x}.$
方法二：对数性质化简
- 利用对数性质：$\ln(x^2) = 2\ln|x|$（注意$x \neq 0$）。
- 直接求导：
$\frac{d}{dx} [2\ln|x|] = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}.$