4.(09年国贸)由抛物线y=x^2与直线y=x和y=ax所围成的平面图形面积S=(7)/(6)，求a的值(a>1).

本题考查利用定积分求平面图形的面积。解题思路是先求出抛物线与两条直线的交点坐标，然后根据交点坐标将所围成的平面图形的面积分割成两部分，分别计算这两部分的面积，最后根据已知的总面积列出方程求解$a$的值。

步骤一：求交点坐标

• 联立抛物线$y = x^2$与直线$y = x$的方程$\begin{cases}y = x^2\\y = x\end{cases}$，将$y = x$代入$y = x^2$可得$x = x^2$，移项得到$x^2 - x = 0$，提取公因式$x$得$x(x - 1) = 0$，解得$x = 0$或$x = 1$。当$x = 0$时，$y = 0$；当$x = 1$时，$y = 1$。所以交点坐标为$(0,0)$和$(1,1)$。
• 联立抛物线$y = x^2$与直线$y = ax$的方程$\begin{cases}y = x^2\\y = ax\end{cases}$，将$y = ax$代入$y = x^2$可得$ax = x^2$，移项得到$x^2 - ax = 0$，提取公因式$x$得$x(x - a) = 0$，解得$x = 0$或$x = a$。当$x = 0$时，$y = 0$；当$x = a$时，$y = a^2$。所以交点坐标为$(0,0)$和$(a,a^2)$。

步骤二：计算两部分面积

• 从$x = 0$到$x = 1$的面积：
  在区间$[0,1]$上，直线$y = ax$在直线$y = x$上方，所以这部分面积为$\int_0^1 (ax - x^2) \, dx - \int_0^1 (x - x^2) \, dx$。
  根据定积分的运算法则$\int_0^1 (ax - x^2) \, dx = \left(\frac{1}{2}ax^2 - \frac{1}{3}x^3\right)\big|_0^1 = \frac{1}{2}a - \frac{1}{3}$，$\int_0^1 (x - x^2) \, dx = \left(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\right)\big|_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$。
  则$\int_0^1 (ax - x^2) \, dx - \int_0^1 (x - x^2) \, dx = \frac{1}{2}a - \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{a - 1}{2}$。
• 从$x = 1$到$x = a$的面积：
  在区间$[1,a]$上，直线$y = ax$在抛物线$y = x^2$上方，所以这部分面积为$\int_1^a (ax - x^2) \, dx$。
  根据定积分的运算法则$\int_1^a (ax - x^2) \, dx = \left(\frac{1}{2}ax^2 - \frac{1}{3}x^3\right)\big|_1^a = \left(\frac{1}{2}a\cdot a^2 - \frac{1}{3}a^3\right) - \left(\frac{1}{2}a\cdot 1^2 - \frac{1}{3}\cdot 1^3\right) = \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} - \fraca + \frac{1}{3} = \frac{a^3}{6} - \frac{a}{2} + \frac{1}{3}$。

步骤三：计算总面积并求解$a$

总面积$S = \frac{a - 1}{2} + \frac{a^3}{6} - \frac{a}{2} + \frac{1}{3} = \frac{a^3 - 1}{6}$。
已知$S = \frac{7}{6}$，则$\frac{a^3 - 1}{6} = \frac{7}{6}$，等式两边同时乘以$6$得$a^3 - 1 = 7$，移项可得$a^3 = 8$，解得$a = 2$。