题目
17.(15分)-|||-如图, Delta AOD 与 Delta BOC 存在对顶角 angle AOD=angle BOC=dfrac (pi )(4) ,AC=2 ,=2sqrt (2) 且 BC=AD-|||-(1)证明:O为BD中点;-|||-(2)若 sqrt (5)sin 2A+cos B=sqrt (5) ,求OC的长.
题目解答
答案
(1) O为BD中点。
(2) OC的长为 $\sqrt{2}$。
(2) OC的长为 $\sqrt{2}$。
解析
步骤 1：证明O为BD中点
由于 $\angle AOD = \angle BOC = \dfrac{\pi}{4}$，且BC=AD，根据对顶角相等和等腰三角形的性质，可以推断出 $\Delta AOD$ 和 $\Delta BOC$ 是等腰三角形。因此，O点到B和D的距离相等，即O为BD中点。
步骤 2：求OC的长
根据题意，$\sqrt{5}\sin 2A + \cos B = \sqrt{5}$。由于 $\angle AOD = \dfrac{\pi}{4}$，则 $\sin 2A = \sin \dfrac{\pi}{2} = 1$。因此，$\sqrt{5} + \cos B = \sqrt{5}$，从而 $\cos B = 0$。这意味着 $\angle B = \dfrac{\pi}{2}$。由于 $\Delta BOC$ 是等腰直角三角形，且 $BD = 2\sqrt{2}$，则 $OC = \dfrac{BD}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$。
由于 $\angle AOD = \angle BOC = \dfrac{\pi}{4}$，且BC=AD，根据对顶角相等和等腰三角形的性质，可以推断出 $\Delta AOD$ 和 $\Delta BOC$ 是等腰三角形。因此，O点到B和D的距离相等，即O为BD中点。
步骤 2：求OC的长
根据题意，$\sqrt{5}\sin 2A + \cos B = \sqrt{5}$。由于 $\angle AOD = \dfrac{\pi}{4}$，则 $\sin 2A = \sin \dfrac{\pi}{2} = 1$。因此，$\sqrt{5} + \cos B = \sqrt{5}$，从而 $\cos B = 0$。这意味着 $\angle B = \dfrac{\pi}{2}$。由于 $\Delta BOC$ 是等腰直角三角形，且 $BD = 2\sqrt{2}$，则 $OC = \dfrac{BD}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$。