题目
lim _(xarrow 0)dfrac (sqrt {1+x)+sqrt (1-x)-2}({x)^2}= __ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用洛必达法则
首先，我们观察到当$x\rightarrow 0$时，分子和分母都趋向于0，因此这是一个$\frac{0}{0}$型的极限问题。我们可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，然后求极限。
步骤 2：求导
分子的导数为$\frac{1}{2\sqrt{1+x}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$，分母的导数为$2x$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于求导后仍然得到$\frac{0}{0}$型的极限，我们再次应用洛必达法则。分子的二阶导数为$-\frac{1}{4(1+x)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{4(1-x)^{\frac{3}{2}}}$，分母的二阶导数为$2$。
步骤 4：计算极限
将$x=0$代入二阶导数的表达式中，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-\frac{1}{4(1+x)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{4(1-x)^{\frac{3}{2}}}}{2}=-\frac{1}{4}$。
首先，我们观察到当$x\rightarrow 0$时，分子和分母都趋向于0，因此这是一个$\frac{0}{0}$型的极限问题。我们可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，然后求极限。
步骤 2：求导
分子的导数为$\frac{1}{2\sqrt{1+x}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$，分母的导数为$2x$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于求导后仍然得到$\frac{0}{0}$型的极限，我们再次应用洛必达法则。分子的二阶导数为$-\frac{1}{4(1+x)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{4(1-x)^{\frac{3}{2}}}$，分母的二阶导数为$2$。
步骤 4：计算极限
将$x=0$代入二阶导数的表达式中，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-\frac{1}{4(1+x)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{4(1-x)^{\frac{3}{2}}}}{2}=-\frac{1}{4}$。