题目

15.设二维随机变量(X,Y)在区域 = (x,y)|0lt ylt sqrt {1-{x)^2}} 上服从均匀分布,令-|||-_(1)= ) 1,x-ygt 0 0,x-yleqslant 0 .-|||-求:(1)二维随机变量(Z1,Z2)的概率分布.-|||-(2)Z1与Z2的相关系数.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查二维均匀分布下指示随机变量的联合概率分布及相关系数的计算。
解题思路：

  1. 确定区域D的几何形状：区域$D$是单位圆的上半部分，面积为$\dfrac{\pi}{2}$，联合密度函数为$\dfrac{2}{\pi}$。
  2. 分析指示变量的条件：根据$Z_1$和$Z_2$的定义，将问题转化为几何概率问题，计算满足不同条件的区域面积占比。
  3. 利用对称性简化计算：通过几何图形的对称性（如扇形、直线分割区域）快速确定各组合的概率。
  4. 计算相关系数：通过期望、方差和协方差公式，结合联合分布律求解。

第（1）题：二维随机变量$(Z_1,Z_2)$的概率分布

关键步骤分析

  1. 区域划分：
    • $Z_1=1$对应$X-Y>0$（即$Y
    • $Z_2=1$对应$X+Y>0$（即$Y>-X$），$Z_2=0$对应$Y \leq -X$。
  2. 几何概率计算：
    • $P(Z_1=0,Z_2=0)$：满足$Y \geq X$且$Y \leq -X$，即$X \leq -Y$。该区域为上半圆中第三象限的小扇形，面积占比$\dfrac{1}{4}$。
    • $P(Z_1=0,Z_2=1)$：满足$Y \geq X$且$Y > -X$。该区域占上半圆的$\dfrac{1}{2}$。
    • $P(Z_1=1,Z_2=0)$：无解（矛盾条件），概率为$0$。
    • $P(Z_1=1,Z_2=1)$：满足$Y < X$且$Y > -X$，面积占比$\dfrac{1}{4}$。

分布律表

$Z_1$ \ $Z_2$ 0 1
0 $\dfrac{1}{4}$ 0
1 0 $\dfrac{1}{4}$

第（2）题：相关系数$\rho_{Z_1Z_2}$

关键计算步骤

  1. 期望与方差：
    • $E(Z_1) = 1 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}$，$D(Z_1) = \dfrac{3}{16}$。
    • $E(Z_2) = 1 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}$，$D(Z_2) = \dfrac{3}{16}$。
  2. 协方差与相关系数：
    • $E(Z_1Z_2) = P(Z_1=1,Z_2=1) = \dfrac{1}{4}$。
    • $\text{Cov}(Z_1,Z_2) = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{16}$。
    • $\rho_{Z_1Z_2} = \dfrac{\text{Cov}(Z_1,Z_2)}{\sqrt{D(Z_1)D(Z_2)}} = \dfrac{1}{3}$。