10.3.24iiintlimits_(Omega)(x^2+y^2)dxdydz=( ),Ω为面xOz上的区域D绕Oz轴旋转一周所生成的空间环形闭区域，其中D是由x=2，z=x-1与x轴所围区域。A. (49)/(10)piB. (49)/(9)piC. (38)/(10)piD. 4π

本题考查利用柱坐标计算三重积分。解题思路是先根据已知条件确定积分区域$\Omega$在柱坐标下的表示，然后将被积函数$x^{2}+y^{2}$转化为柱坐标形式，最后进行三重积分的计算。

步骤一：确定积分区域$\Omega$在柱坐标下的表示

在柱坐标中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，$dxdydz = rdzdrd\theta$，且$x^{2}+y^{2}=r^{2}$。
已知$D$是由$x = 2$，$z = x - 1$与$x$轴所围区域。

• 对于$z$的范围：由$z = x - 1$和$x$轴（$z = 0$）可得$z$的下限为$0$，上限由$z = x - 1$和$x = 2$确定，当$x = 2$时，$z = 2 - 1 = 1$，所以$0\leq z\leq 1$。
• 对于$r$的范围：因为区域是绕$Oz$轴旋转一周所生成的空间环形闭区域，$x$的范围是从$z + 1$到$2$，在柱坐标中$x = r\cos\theta$，所以$z + 1\leq r\cos\theta\leq 2$，又因为$0\leq\theta\leq 2\pi$，$r$的下限为$z + 1$，上限为$2$，即$z + 1\leq r\leq 2$。
• 对于$\theta$的范围：由于是绕$Oz$轴旋转一周，所以$0\leq\theta\leq 2\pi$。

步骤二：将被积函数和积分区域转化为柱坐标形式

原积分$\iiint\limits_{\Omega}(x^{2}+y^{2})dxdydz$转化为柱坐标形式为$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}dz\int_{z + 1}^{2}r^{2}\cdot rdr$。

步骤三：计算三重积分

• 先计算关于$r$的积分：
  $\int_{z + 1}^{2}r^{3}dr=\left[\frac{1}{4}r^{4}\right]_{z + 1}^{2}=\frac{1}{4}\times(2^{4}-(z + 1)^{4})=\frac{1}{4}(16-(z + 1)^{4})$
• 再计算关于$z$的积分：
  $\int_{0}^{1}\frac{1}{4}(16-(z + 1)^{4})dz=\frac{1}{4}\int_{0}^{1}(16-(z + 1)^{4})dz$
  令$u = z + 1$，则$du = dz$，当$z = 0$时，$u = 1$；当$z = 1$时，$u = 2$。
  $\frac{1}{4}\int_{0}^{1}(16-(z + 1)^{4})dz=\frac{1}{4}\int_{1}^{2}(16 - u^{4})du=\frac{1}{4}\left[16u-\frac{1}{5}u^{5}\right]_{1}^{2}$
  $=\frac{1}{4}\left[\left(16\times 2-\frac{1}{5}\times 2^{5}\right)-\left(16\times 1-\frac{1}{5}\times 1^{5}\right)\right]$
  $=\frac{1}{4}\left[\left(32-\frac{32}{5}\right)-\left(16-\frac{1}{5}\right)\right]$
  $=\frac{1}{4}\left(32-\frac{32}{5}-16+\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{4}\left(16-\frac{31}{5}\right)=\frac{1}{4}\times\frac{49}{5}=\frac{49}{20}$
• 最后计算关于$\theta$的积分：
  $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}dz\int_{z + 1}^{2}r^{3}dr=\int_{0}^{2\pi}\frac{49}{20}d\theta=\frac{49}{20}\times\left[\theta\right]_{0}^{2\pi}=\frac{49}{20}\times 2\pi=\frac{49}{10}\pi$