10. (2.0分) 若lim_(x to 0)f(x,y)=A，则lim_(x to 0)f(x,y)=A.（）A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查二元函数极限与一元函数极限的区别，以及二重极限存在的充要条件。

解题核心思路：
题目中的条件$\lim_{x \to 0} f(x, y) = A$表示固定$y$时，仅让$x$趋近于0的极限，而结论中的$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = A$是二重极限，要求无论沿何种路径趋近于$(0,0)$，极限值都必须存在且相等。因此，单方向的极限存在不能保证二重极限存在，需通过反例验证命题错误。

条件分析

条件$\lim_{x \to 0} f(x, y) = A$表示：

• 固定任意$y$值，仅让$x$趋近于0时，函数$f(x,y)$的极限为$A$。
• 这是单变量极限，仅沿平行于$x$轴的方向趋近于$(0,0)$。

二重极限的定义

二重极限$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = A$要求：

• 无论沿何种路径（如直线、曲线等）趋近于$(0,0)$，函数值都无限接近$A$。
• 若存在不同路径导致极限值不同，则二重极限不存在。

反例说明

构造函数$f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$：

1. 沿固定$y$，$x \to 0$：
   $\lim_{x \to 0} \frac{xy}{x^2 + y^2} = \lim_{x \to 0} \frac{0}{y^2} = 0 = A$
   此时满足条件。
2. 沿路径$y = x$趋近于$(0,0)$：
   $\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x^2 + x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2} \neq A$
   此时极限值为$\frac{1}{2}$，与$A=0$矛盾，说明二重极限不存在。

结论：条件成立时，二重极限可能不存在，因此原命题错误。