题目

(19)(本题满分12分)设函数f(x,y)可微且满足df(x,y)=-2xe^-ydx+e^-y(x^2-y-1)dy,f(0,0)=2,求f(x,y),并求f(x,y)的极值.

(19)(本题满分12分) 设函数f(x,y)可微且满足$df(x,y)=-2xe^{-y}dx+e^{-y}(x^{2}-y-1)dy,f(0,0)=2$,求f(x,y),并求f(x,y)的极值.

题目解答

答案

  1. 求函数 $ f(x, y) $
    由 $ df(x, y) = -2xe^{-y}dx + e^{-y}(x^2 - y - 1)dy $，积分得
    $f(x, y) = -x^2e^{-y} + (y + 2)e^{-y} + C.$
    由初始条件 $ f(0, 0) = 2 $，解得 $ C = 0 $，故
    $f(x, y) = e^{-y}(-x^2 + y + 2).$

  2. 求极值
    令偏导数为零，得临界点 $ (0, -1) $。
    二阶导数测试表明该点为最大值，最大值为 $ e $。
    函数无最小值（当 $ y \to -\infty $ 时，函数值可趋于负无穷）。

答案：
函数 $ f(x, y) = e^{-y}(-x^2 + y + 2) $，最大值为 $ \boxed{e} $，无最小值。

解析

本题主要考查了全微分求原函数以及二元函数极值的求解。解题思路如下：

  1. 求函数$f(x,y)$：
    • 已知$df(x,y)=-2xe^{-y}dx + e^{-y}(x^2 - y - 1)dy$，根据全微分的性质，$f(x,y)$可以通过对$df(x,y)$进行积分得到。
    • 先对$-2xe^{-y}dx$关于$x$积分，此时把$y$看作常数：
      $\int -2xe^{-y}dx=-2e^{-y}\int xdx=-2e^{-y}\cdot\frac{1}{2}x^2=-x^2e^{-y}+C_1(y)$，其中$C_1(y)$是关于$y$的函数。
    • 再对$e^{-y}(x^2 - y - 1)dy$关于$y$积分，此时把$x$看作常数：
      $\int e^{-y}(x^2 - y - 1)dy=\int (x^2 - y - 1)d(-e^{-y})$
      根据分部积分法$\int udv = uv-\int vdu$，令$u = x^2 - y - 1$，$dv = d(-e^{-y})$，则$du=-dy$，$v=-e^{-y}$。
      $\int (x^2 - y - 1)d(-e^{-y})=-(x^2 - y - 1)e^{-y}-\int (-e^{-y})(-dy)=-(x^2 - y - 1)e^{-y}-e^{-y}+C_2(x)$
      $=-x^2e^{-y}+ye^{-y}+e^{-y}-e^{-y}+C_2(x)=-x^2e^{-y}+ye^{-y}+C_2(x)$
    • 综合以上两个积分结果，可得$f(x,y)=-x^2e^{-y}+ye^{-y}+2e^{-y}+C$（$C$为常数）。
    • 已知$f(0,0)=2$，将$x = 0$，$y = 0$代入$f(x,y)$可得：
      $f(0,0)=-0^2e^{-0}+0\cdot e^{-0}+2e^{-0}+C=2 + C$
      由$f(0,0)=2$，解得$C = 0$，所以$f(x,y)=e^{-y}(-x^2 + y + 2)$。
  2. 求$f(x,y)$的极值：
    • 先求$f(x,y)$的一阶偏导数：
      $f_x(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=-2xe^{-y}$
      $f_y(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=e^{-y}(-x^2 + y + 2)+e^{-y}(-1)=e^{-y}(-x^2 + y + 1)$
    • 令$\begin{cases}f_x(x,y)=0\\f_y(x,y)=0\end{cases}$，即$\begin{cases}-2xe^{-y}=0\\e^{-y}(-x^2 + y + 1)=0\end{cases}$。
      由$-2xe^{-y}=0$，因为$e^{-y}\gt0$恒成立，所以$x = 0$。
      将$x = 0$代入$e^{-y}(-x^2 + y + 1)=0$，得$e^{-y}(y + 1)=0$，因为$e^{-y}\gt0$恒成立，所以$y = -1$。
      因此，临界点为$(0,-1)$。
    • 再求$f(x,y)$的二阶偏导数：
      $f_{xx}(x,y)=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}=-2e^{-y}$
      $f_{xy}(x,y)=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y}=2xe^{-y}$
      $f_{yy}(x,y)=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}=e^{-y}(-x^2 + y + 1)-e^{-y}=e^{-y}(-x^2 + y)$
    • 在临界点$(0,-1)$处：
      $A = f_{xx}(0,-1)=-2e^{-(-1)}=-2e$
      $B = f_{xy}(0,-1)=2\times0\times e^{-(-1)}=0$
      $C = f_{yy}(0,-1)=e^{-(-1)}(-0^2 - 1)=-e$
    • 计算判别式$\Delta = B^2 - AC=0^2 - (-2e)\times(-e)=-2e^2\lt0$，且$A = -2e\lt0$，所以函数$f(x,y)$在点$(0,-1)$处取得极大值。
    • 将$(0,-1)$代入$f(x,y)$可得极大值为：
      $f(0,-1)=e^{-(-1)}(-0^2 - 1 + 2)=e$
    • 当$y\to -\infty$时，$e^{-y}\to +\infty$，$-x^2 + y + 2\to -\infty$，所以$f(x,y)\to -\infty$，函数无最小值。