题目
注 类似地，设f(x,y)在区域D:0≤x≤1,0≤y≤1上可微，且f(0,0)=0.试求极限lim_(xto0^+)(int_(0)^x^(2)dtint_(x)^sqrt(t)f(t,u)du)/(1-e^-x^(4)).(-(1)/(4)f_(xy)(0,0))
注 类似地，
设f(x,y)在区域D:0≤x≤1,0≤y≤1上可微，且f(0,0)=0.
试求极限$\lim_{x\to0^{+}}\frac{\int_{0}^{x^{2}}dt\int_{x}^{\sqrt{t}}f(t,u)du}{1-e^{-x^{4}}}$.
$(-\frac{1}{4}f_{xy}(0,0))$
题目解答
答案
将原极限表达式重写为：
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^{x^2} dt \int_x^{\sqrt{t}} f(t, u) \, du}{x^4}.
$$
利用积分中值定理，存在 $c \in [0, x^2]$，使得：
$$
\int_0^{x^2} dt \int_x^{\sqrt{t}} f(t, u) \, du \approx x^2 \int_x^{\sqrt{c}} f(c, u) \, du.
$$
近似 $f(c, u) \approx f_y'(0, 0)u$，得：
$$
\int_x^{\sqrt{c}} f(c, u) \, du \approx -\frac{f_y'(0, 0)x^2}{2}.
$$
因此，原极限为：
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{-\frac{f_y'(0, 0)x^4}{2}}{x^4} = -\frac{f_y'(0, 0)}{4}.
$$
答案：$\boxed{-\frac{f_y'(0, 0)}{4}}$.