题目
1-2 如习题 1-2 图所示,在一长度为L、电荷线-|||-密度为λ,的均匀带电细棒的延长线上,距棒端为a处-|||-有一点电荷q.求q所受到的库仑力.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电荷分布和电场
细棒的电荷线密度为 λ，长度为 L，因此细棒的总电荷量为 Q = λL。细棒上每个微小电荷元 dq = λdx，其中 dx 是细棒上微小长度元。
步骤 2：计算微小电荷元对点电荷 q 的库仑力
点电荷 q 位于细棒延长线上，距离棒端为 a 处。细棒上距离 q 为 x 的微小电荷元 dq 对 q 的库仑力为 dF = k(dq * q) / (x + a)^2，其中 k 是库仑常数。
步骤 3：积分求总库仑力
将细棒上所有微小电荷元对 q 的库仑力进行积分，得到总库仑力 F = ∫dF = ∫(k * λ * q * dx) / (x + a)^2，积分范围为 x 从 0 到 L。
步骤 4：计算积分
F = k * λ * q * ∫(dx) / (x + a)^2 = k * λ * q * [-1 / (x + a)] | (0, L) = k * λ * q * [1 / a - 1 / (L + a)] = k * λ * q * (L / [a * (L + a)])。
步骤 5：代入 λ = Q / L
F = k * (Q / L) * q * (L / [a * (L + a)]) = k * Q * q / [a * (L + a)] = k * λL * q / [a * (L + a)] = 4kλq / (L + 2a)^2。
细棒的电荷线密度为 λ，长度为 L，因此细棒的总电荷量为 Q = λL。细棒上每个微小电荷元 dq = λdx，其中 dx 是细棒上微小长度元。
步骤 2：计算微小电荷元对点电荷 q 的库仑力
点电荷 q 位于细棒延长线上，距离棒端为 a 处。细棒上距离 q 为 x 的微小电荷元 dq 对 q 的库仑力为 dF = k(dq * q) / (x + a)^2，其中 k 是库仑常数。
步骤 3：积分求总库仑力
将细棒上所有微小电荷元对 q 的库仑力进行积分，得到总库仑力 F = ∫dF = ∫(k * λ * q * dx) / (x + a)^2，积分范围为 x 从 0 到 L。
步骤 4：计算积分
F = k * λ * q * ∫(dx) / (x + a)^2 = k * λ * q * [-1 / (x + a)] | (0, L) = k * λ * q * [1 / a - 1 / (L + a)] = k * λ * q * (L / [a * (L + a)])。
步骤 5：代入 λ = Q / L
F = k * (Q / L) * q * (L / [a * (L + a)]) = k * Q * q / [a * (L + a)] = k * λL * q / [a * (L + a)] = 4kλq / (L + 2a)^2。