题目
4、直线(x-1)/(2)=(y-1)/(3)=(z)/(2)与平面x-y+z=0的夹角的正弦为(sqrt(51))/(51)（）。A 对B 错A. 对B. 错
4、直线$\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{2}$与平面x-y+z=0的夹角的正弦为$\frac{\sqrt{51}}{51}$（）。
A 对
B 错
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：确定直线的方向向量
直线 $\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z}{2}$ 的方向向量为 $\overrightarrow{n} = (2, 3, 2)$。
步骤 2：确定平面的法向量
平面 $x - y + z = 0$ 的法向量为 $\overrightarrow{m} = (1, -1, 1)$。
步骤 3：计算点积
计算点积 $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m} = 2 - 3 + 2 = 1$。
步骤 4：计算向量模长
向量 $\overrightarrow{n}$ 的模长为 $|\overrightarrow{n}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{17}$。
向量 $\overrightarrow{m}$ 的模长为 $|\overrightarrow{m}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$。
步骤 5：计算直线与平面夹角的正弦值
直线与平面夹角的正弦值为 \[ \sin \theta = \frac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}| |\overrightarrow{m}|} = \frac{1}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{51}} = \frac{\sqrt{51}}{51} \]。
直线 $\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z}{2}$ 的方向向量为 $\overrightarrow{n} = (2, 3, 2)$。
步骤 2：确定平面的法向量
平面 $x - y + z = 0$ 的法向量为 $\overrightarrow{m} = (1, -1, 1)$。
步骤 3：计算点积
计算点积 $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m} = 2 - 3 + 2 = 1$。
步骤 4：计算向量模长
向量 $\overrightarrow{n}$ 的模长为 $|\overrightarrow{n}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{17}$。
向量 $\overrightarrow{m}$ 的模长为 $|\overrightarrow{m}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$。
步骤 5：计算直线与平面夹角的正弦值
直线与平面夹角的正弦值为 \[ \sin \theta = \frac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}| |\overrightarrow{m}|} = \frac{1}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{51}} = \frac{\sqrt{51}}{51} \]。