单选题（共30题，60.0分）23. (2.0分) 若二维随机变量（X,Y）在以原点为中心的正方形[-1,1]x[-1,1]上服从均匀分布，那PXA. (3)/(4)B. (1)/(2)C. (2)/(3)D. (4)/(5)

本题考查二维均匀分布的概率计算。解题思路是先确定二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数，再根据概率的计算公式，通过二重积分计算$P\{X<\frac{1}{2}\}$。

步骤一：确定联合概率密度函数

已知二维随机变量$(X,Y)$在以原点为中心的正方形$[-1,1]\times[-1,1]$上服从均匀分布。
对于二维均匀分布，其联合概率密度函数为：
$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{S_D},&(x,y)\in D\\0,&(x,y)\notin D\end{cases}$
其中$S_D$是区域$D$的面积。
在本题中，区域$D = [-1,1]\times[-1,1]$，这是一个边长为$2$的正方形，所以其面积$S_D = 2\times2 = 4$。
则联合概率密度函数为$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{4},& -1\leq x\leq 1,-1\leq y\leq 1\\0,& 其他\end{cases}$

步骤二：计算$P\{X<\frac{1}{2}\}$

根据二维随机变量概率的计算公式$P\{(X,Y)\in G\}=\iint_G f(x,y)dxdy$，这里$G=\{(x,y)|x<\frac{1}{2}, -1\leq y\leq 1\}$。
则$P\{X<\frac{1}{2}\}=\iint_{x<\frac{1}{2}} f(x,y)dxdy$
因为$f(x,y)$在$[-1,1]\times[-1,1]$外为$0$，所以积分区域为$-1\leq x<\frac{1}{2}, -1\leq y\leq 1$，则：
$\begin{align*}P\{X<\frac{1}{2}\}&=\int_{-1}^{1}dy\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}dx\\&=\int_{-1}^{1}\frac{1}{4}[x]_{-1}^{\frac{1}{2}}dy\\&=\int_{-1}^{1}\frac{1}{4}(\frac{1}{2}-(-1))dy\\&=\int_{-1}^{1}\frac{1}{4}\times\frac{3}{2}dy\\&=\frac{3}{8}\int_{-1}^{1}dy\\&=\frac{3}{8}[y]_{-1}^{1}\\&=\frac{3}{8}(1 - (-1))\\&=\frac{3}{8}\times2\\&=\frac{3}{4}\end{align*}$