题目
9.简答题11.设一平面过点M_(0)(1,2,-1)且垂直于平面3x-4y+z+16=0和4x-z+6=0，试求这平面方程.
9.简答题
11.设一平面过点$M_{0}(1,2,-1)$且垂直于平面3x-4y+z+16=0和4x-z+6=0，试求这平面方程.
题目解答
答案
已知平面的法向量分别为 $\mathbf{n}_1 = (3, -4, 1)$ 和 $\mathbf{n}_2 = (4, 0, -1)$。所求平面的法向量 $\mathbf{n}$ 与 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$ 垂直，可由向量积求得：
\[
\mathbf{n} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = (4, 7, 16)
\]
平面过点 $M_0(1, 2, -1)$，利用点法式方程：
\[
4(x - 1) + 7(y - 2) + 16(z + 1) = 0
\]
化简得：
\[
4x + 7y + 16z - 2 = 0
\]
**答案：** $\boxed{4x + 7y + 16z - 2 = 0}$
解析
步骤 1：确定已知平面的法向量
已知平面3x-4y+z+16=0的法向量为$\mathbf{n}_1 = (3, -4, 1)$，平面4x-z+6=0的法向量为$\mathbf{n}_2 = (4, 0, -1)$。
步骤 2：计算所求平面的法向量
所求平面的法向量$\mathbf{n}$与$\mathbf{n}_1$和$\mathbf{n}_2$垂直，可由向量积求得：\[ \mathbf{n} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -4 & 1 \\ 4 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (4, 7, 16) \]
步骤 3：利用点法式方程求平面方程
平面过点$M_0(1, 2, -1)$，利用点法式方程：\[ 4(x - 1) + 7(y - 2) + 16(z + 1) = 0 \] 化简得：\[ 4x + 7y + 16z - 2 = 0 \]
已知平面3x-4y+z+16=0的法向量为$\mathbf{n}_1 = (3, -4, 1)$，平面4x-z+6=0的法向量为$\mathbf{n}_2 = (4, 0, -1)$。
步骤 2：计算所求平面的法向量
所求平面的法向量$\mathbf{n}$与$\mathbf{n}_1$和$\mathbf{n}_2$垂直，可由向量积求得：\[ \mathbf{n} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -4 & 1 \\ 4 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (4, 7, 16) \]
步骤 3：利用点法式方程求平面方程
平面过点$M_0(1, 2, -1)$，利用点法式方程：\[ 4(x - 1) + 7(y - 2) + 16(z + 1) = 0 \] 化简得：\[ 4x + 7y + 16z - 2 = 0 \]