题目
二次型 f(x_1, x_2, x_3)= 2x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 + tx_2x_3 是正定的，则 t 的取值范围A. -sqrt(2) B. -1 C. 0 D. t = 0
二次型 $f(x_1, x_2, x_3)= 2x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 + tx_2x_3$ 是正定的，则 $t$ 的取值范围
A. $-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}$
B. $-1 < t < 1$
C. $0 < t < \sqrt{2}$
D. $t = 0$
题目解答
答案
A. $-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}$
解析
步骤 1：确定二次型对应的矩阵
二次型 $f(x_1, x_2, x_3)= 2x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 + tx_2x_3$ 对应的矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{t}{2} \\ 0 & \frac{t}{2} & 1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算顺序主子式
1. $ A_1 = 2 > 0 $
2. $ A_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 > 0 $
3. $ A_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{t}{2} \\ 0 & \frac{t}{2} & 1 \end{vmatrix} = 1 - \frac{t^2}{2} $
步骤 3：确定 $t$ 的取值范围
为使二次型正定，需 $ A_3 > 0 $，即： \[ 1 - \frac{t^2}{2} > 0 \implies t^2 < 2 \implies -\sqrt{2} < t < \sqrt{2} \]
二次型 $f(x_1, x_2, x_3)= 2x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 + tx_2x_3$ 对应的矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{t}{2} \\ 0 & \frac{t}{2} & 1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算顺序主子式
1. $ A_1 = 2 > 0 $
2. $ A_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 > 0 $
3. $ A_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{t}{2} \\ 0 & \frac{t}{2} & 1 \end{vmatrix} = 1 - \frac{t^2}{2} $
步骤 3：确定 $t$ 的取值范围
为使二次型正定，需 $ A_3 > 0 $，即： \[ 1 - \frac{t^2}{2} > 0 \implies t^2 < 2 \implies -\sqrt{2} < t < \sqrt{2} \]