题目
15. (2.0分) 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且PX=1|Xleq1=0.8，则λ的值为()。A. 0.8B. 2C. 0.25D. 4
15. (2.0分) 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且$P\{X=1|X\leq1\}=0.8$，则λ的值为()。
A. 0.8
B. 2
C. 0.25
D. 4
题目解答
答案
D. 4
解析
步骤 1：条件概率公式
根据条件概率公式，我们有：\[ P\{X=1|X\leq1\} = \frac{P\{X=1\}}{P\{X\leq1\}} \] 给定条件是$P\{X=1|X\leq1\}=0.8$，因此：\[ \frac{P\{X=1\}}{P\{X\leq1\}} = 0.8 \]
步骤 2：泊松分布的概率计算
泊松分布的概率质量函数为：\[ P\{X=k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] 对于$P\{X=1\}$，我们有：\[ P\{X=1\} = \frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \lambda e^{-\lambda} \] 对于$P\{X\leq1\}$，我们有：\[ P\{X\leq1\} = P\{X=0\} + P\{X=1\} = e^{-\lambda} + \lambda e^{-\lambda} = e^{-\lambda}(1 + \lambda) \]
步骤 3：代入并求解λ
将步骤2中的结果代入步骤1中的条件概率公式，我们得到：\[ \frac{\lambda e^{-\lambda}}{e^{-\lambda}(1 + \lambda)} = 0.8 \] 简化得到：\[ \frac{\lambda}{1 + \lambda} = 0.8 \] 解方程：\[ \lambda = 0.8(1 + \lambda) \] \[ \lambda = 0.8 + 0.8\lambda \] \[ 0.2\lambda = 0.8 \] \[ \lambda = 4 \]
根据条件概率公式，我们有：\[ P\{X=1|X\leq1\} = \frac{P\{X=1\}}{P\{X\leq1\}} \] 给定条件是$P\{X=1|X\leq1\}=0.8$，因此：\[ \frac{P\{X=1\}}{P\{X\leq1\}} = 0.8 \]
步骤 2：泊松分布的概率计算
泊松分布的概率质量函数为：\[ P\{X=k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] 对于$P\{X=1\}$，我们有：\[ P\{X=1\} = \frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \lambda e^{-\lambda} \] 对于$P\{X\leq1\}$，我们有：\[ P\{X\leq1\} = P\{X=0\} + P\{X=1\} = e^{-\lambda} + \lambda e^{-\lambda} = e^{-\lambda}(1 + \lambda) \]
步骤 3：代入并求解λ
将步骤2中的结果代入步骤1中的条件概率公式，我们得到：\[ \frac{\lambda e^{-\lambda}}{e^{-\lambda}(1 + \lambda)} = 0.8 \] 简化得到：\[ \frac{\lambda}{1 + \lambda} = 0.8 \] 解方程：\[ \lambda = 0.8(1 + \lambda) \] \[ \lambda = 0.8 + 0.8\lambda \] \[ 0.2\lambda = 0.8 \] \[ \lambda = 4 \]