【例13.28】求幂级数sum_(n=1)^inftyn^2x^n-1的收敛域及和函数.

本题主要考查幂级数收敛域的求解以及和函数的计算。解题思路如下：

1. 求收敛半径和收敛域：
   • 对于幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}x^{n}$（本题中$a_{n}=n^{2}$），可使用比值审敛法求收敛半径$R$。根据比值审敛法，计算$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right|$，若该极限值为$\rho$，则收敛半径$R=\frac{1}{\rho}$。
   • 求出收敛半径$R$后，得到开区间$(-R,R)$，再分别讨论端点$x = R$和$x = -R$处幂级数的敛散性，从而确定收敛域。
2. 求和函数：
   • 对幂级数的通项$n^{2}$进行变形，$n^{2}=n(n - 1)+n$，将原幂级数拆分为两个幂级数之和。
   • 利用已知的幂级数和函数公式$\sum_{n = 1}^{\infty}nx^{n - 1}=\frac{1}{(1 - x)^{2}}$和$\sum_{n = 1}^{\infty}n(n - 1)x^{n - 1}=\frac{2x}{(1 - x)^{3}}$（$|x|\lt1$），分别求出拆分后的两个幂级数的和函数，再将它们相加得到原幂级数的和函数。

下面进行详细计算：

1. 求收敛半径和收敛域：
   • 已知幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}n^{2}x^{n - 1}$，其中$a_{n}=n^{2}$，$a_{n + 1}=(n + 1)^{2}$。
   • 计算$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right|$：
     $\begin{align*}\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right|&=\lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n + 1)^{2}}{n^{2}} \right|\\&=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n + 1}{n} \right)^{2}\\&=\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{2}\\&= 1\end{align*}$
   • 由收敛半径的计算公式$R=\frac{1}{\rho}$（$\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right|$），可得收敛半径$R = 1$。
   • 讨论端点处的敛散性：
     • 当$x = 1$时，幂级数变为$\sum_{n = 1}^{\infty}n^{2}$，这是一个正项级数，且$\lim_{n \to \infty}n^{2}=\infty\neq0$，根据级数收敛的必要条件可知该级数发散。
     • 当$x = -1$时，幂级数变为$\sum_{n = 1}^{\infty}n^{2}(-1)^{n - 1}$，$\lim_{n \to \infty}|n^{2}(-1)^{n - 1}|=\lim_{n \to \infty}n^{2}=\infty\neq0$，根据级数收敛的必要条件可知该级数发散。
   • 综上，收敛域为$(-1, 1)$。
2. 求和函数：
   • 设$S(x)=\sum_{n = 1}^{\infty}n^{2}x^{n - 1}$，将$n^{2}$变形为$n(n - 1)+n$，则$S(x)=\sum_{n = 1}^{\infty}[n(n - 1)+n]x^{n - 1}=\sum_{n = 1}^{\infty}n(n - 1)x^{n - 1}+\sum_{n = 1}^{\infty}nx^{n - 1}$。
   • 已知$\sum_{n = 1}^{\infty}nx^{n - 1}=\frac{1}{(1 - x)^{2}}$（$|x|\lt1$），下面求$\sum_{n = 1}^{\infty}n(n - 1)x^{n - 1}$的和函数：
     设$T(x)=\sum_{n = 1}^{\infty}n(n - 1)x^{n - 1}$，对$\sum_{n = 0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1 - x}$（$|x|\lt1$）两边求导两次：
     • 第一次求导：$(\sum_{n = 0}^{\infty}x^{n})^\prime=(\frac{1}{1 - x})^\prime$，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$和$(\frac{1}{1 - x})^\prime=\frac{1}{(1 - x)^{2}}$，可得$\sum_{n = 1}^{\infty}nx^{n - 1}=\frac{1}{(1 - x)^{2}}$。
     • 第二次求导：$(\sum_{n = 1}^{\infty}nx^{n - 1})^\prime=(\frac{1}{(1 - x)^{2}})^\prime$，根据求导公式$(\frac{1}{(1 - x)^{2}})^\prime=\frac{2}{(1 - x)^{3}}$，可得$\sum_{n = 2}^{\infty}n(n - 1)x^{n - 2}=\frac{2}{(1 - x)^{3}}$。
       两边同乘$x$，得到$\sum_{n = 2}^{\infty}n(n - 1)x^{n - 1}=\frac{2x}{(1 - x)^{3}}$，而$n = 1$时，$1\times(1 - 1)x^{1 - 1}=0$，所以$\sum_{n = 1}^{\infty}n(n - 1)x^{n - 1}=\frac{2x}{(1 - x)^{3}}$（$|x|\lt1$）。
   • 则$S(x)=\frac{2x}{(1 - x)^{3}}+\frac{1}{(1 - x)^{2}}$，通分可得：
     $\begin{align*}S(x)&=\frac{2x}{(1 - x)^{3}}+\frac{1 - x}{(1 - x)^{3}}\\&=\frac{2x + 1 - x}{(1 - x)^{3}}\\&=\frac{1 + x}{(1 - x)^{3}}\end{align*}$