3.设随机变量X的分布函数为-|||-F(x)=-|||-0, leqslant 0,-|||-https:/img.zuoyebang.cc/zyb_5c5f0c611e31f682e443a59f1681533a.jpg-(1+x)(e)^-x,xgt 0,-|||-求X的密度函数,并计算 (Xleqslant 1) 和 (Xgt 2).

考查要点：本题主要考查分布函数与概率密度函数的关系，以及如何利用分布函数计算概率。

解题核心思路：

1. 概率密度函数是分布函数的导数，需分段求导并注意分段点的处理。
2. 计算概率时，直接利用分布函数的定义：$P(X \leqslant a) = F(a)$，而$P(X > a) = 1 - F(a)$。

破题关键点：

• 正确求导：对$x > 0$时的分布函数$F(x) = 1 - (1+x)e^{-x}$使用乘积法则求导。
• 分段讨论：密度函数在$x \leq 0$时为0，在$x > 0$时为导数结果。

密度函数求解

分布函数为：
$F(x) = \begin{cases}0, & x \leq 0, \\1 - (1+x)e^{-x}, & x > 0.\end{cases}$

步骤1：求导
根据$f(x) = F'(x)$，分段讨论：

1. 当$x \leq 0$时：$F(x) = 0$，故$f(x) = 0$。
2. 当$x > 0$时：对$1 - (1+x)e^{-x}$求导：
   $F'(x) = -\left[ e^{-x} + (1+x)(-e^{-x}) \right] = -e^{-x} + (1+x)e^{-x} = x e^{-x}.$

结论：密度函数为：
$f(x) = \begin{cases}x e^{-x}, & x > 0, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$

计算概率$P(X \leqslant 1)$

直接代入分布函数：
$P(X \leqslant 1) = F(1) = 1 - (1+1)e^{-1} = 1 - 2e^{-1}.$

计算概率$P(X > 2)$

利用概率的补集性质：
$P(X > 2) = 1 - P(X \leqslant 2) = 1 - F(2).$
代入分布函数：
$F(2) = 1 - (1+2)e^{-2} = 1 - 3e^{-2},$
因此：
$P(X > 2) = 1 - (1 - 3e^{-2}) = 3e^{-2}.$