题目
设随机变量X的概率密度为_(x)(x)=dfrac (1)(pi (1+{x)^2)},则Y=2X的概率密度为______ A._(x)(x)=dfrac (1)(pi (1+{x)^2)},B._(x)(x)=dfrac (1)(pi (1+{x)^2)},C._(x)(x)=dfrac (1)(pi (1+{x)^2)},D._(x)(x)=dfrac (1)(pi (1+{x)^2)},
设随机变量X的概率密度为
则Y=2X的概率密度为______
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
C. $\dfrac {2}{\pi (4+{y}^{2})}$
解析
步骤 1：确定Y与X的关系
已知Y=2X，因此X=Y/2。
步骤 2：计算Y的概率密度函数
根据概率密度函数的变换公式，若Y=g(X)，则Y的概率密度函数${f}_{Y}(y)$可以通过X的概率密度函数${f}_{X}(x)$和变换函数g(x)的导数来计算。具体地，${f}_{Y}(y)={f}_{X}(g^{-1}(y))\cdot|g^{-1}'(y)|$，其中$g^{-1}(y)$是g(x)的反函数，$g^{-1}'(y)$是反函数的导数。
对于Y=2X，反函数为$X=\frac{Y}{2}$，其导数为$\frac{1}{2}$。
因此，${f}_{Y}(y)={f}_{X}(\frac{y}{2})\cdot|\frac{1}{2}|$。
步骤 3：代入X的概率密度函数
将${f}_{X}(x)=\dfrac {1}{\pi (1+{x}^{2})}$代入，得到${f}_{Y}(y)=\dfrac {1}{\pi (1+(\frac{y}{2})^{2})}\cdot\frac{1}{2}=\dfrac {1}{\pi (1+\frac{{y}^{2}}{4})}\cdot\frac{1}{2}=\dfrac {1}{\pi (\frac{4+{y}^{2}}{4})}\cdot\frac{1}{2}=\dfrac {2}{\pi (4+{y}^{2})}$。
已知Y=2X，因此X=Y/2。
步骤 2：计算Y的概率密度函数
根据概率密度函数的变换公式，若Y=g(X)，则Y的概率密度函数${f}_{Y}(y)$可以通过X的概率密度函数${f}_{X}(x)$和变换函数g(x)的导数来计算。具体地，${f}_{Y}(y)={f}_{X}(g^{-1}(y))\cdot|g^{-1}'(y)|$，其中$g^{-1}(y)$是g(x)的反函数，$g^{-1}'(y)$是反函数的导数。
对于Y=2X，反函数为$X=\frac{Y}{2}$，其导数为$\frac{1}{2}$。
因此，${f}_{Y}(y)={f}_{X}(\frac{y}{2})\cdot|\frac{1}{2}|$。
步骤 3：代入X的概率密度函数
将${f}_{X}(x)=\dfrac {1}{\pi (1+{x}^{2})}$代入，得到${f}_{Y}(y)=\dfrac {1}{\pi (1+(\frac{y}{2})^{2})}\cdot\frac{1}{2}=\dfrac {1}{\pi (1+\frac{{y}^{2}}{4})}\cdot\frac{1}{2}=\dfrac {1}{\pi (\frac{4+{y}^{2}}{4})}\cdot\frac{1}{2}=\dfrac {2}{\pi (4+{y}^{2})}$。