题目
4.计算iintlimits_(S)xdS，其中S为平面x+y+z=1在第一卦限的部分。答案：(sqrt(3))/(6)
4.计算$\iint\limits_{S}xdS$，其中S为平面x+y+z=1在第一卦限的部分。
答案：$\frac{\sqrt{3}}{6}$
题目解答
答案
将平面方程 $x + y + z = 1$ 表示为 $z = 1 - x - y$，计算曲面元素 $dS = \sqrt{1 + (-1)^2 + (-1)^2} \, dA = \sqrt{3} \, dA$。
投影到 $xy$-平面的区域 $D_{xy}$ 为直角三角形，顶点为 $(0,0)$，$(1,0)$，$(0,1)$。
积分限为 $0 \leq y \leq 1 - x$，$0 \leq x \leq 1$，则
\[
\iint\limits_{S} x \, dS = \sqrt{3} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} x \, dy \, dx = \sqrt{3} \int_{0}^{1} x(1-x) \, dx = \sqrt{3} \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{\sqrt{3}}{6}.
\]
或者，利用对称性 $\iint\limits_{S} x \, dS = \iint\limits_{S} y \, dS = \iint\limits_{S} z \, dS$，曲面面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，故
\[
3 \iint\limits_{S} x \, dS = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \iint\limits_{S} x \, dS = \frac{\sqrt{3}}{6}.
\]
答案：$\boxed{\frac{\sqrt{3}}{6}}$
解析
步骤 1：确定曲面方程和曲面元素
将平面方程 $x + y + z = 1$ 表示为 $z = 1 - x - y$。曲面元素 $dS$ 可以通过计算曲面的法向量的模来确定。法向量为 $\vec{n} = \nabla (x + y + z - 1) = (1, 1, 1)$，因此 $dS = \sqrt{1 + (-1)^2 + (-1)^2} \, dA = \sqrt{3} \, dA$。
步骤 2：确定积分区域
投影到 $xy$-平面的区域 $D_{xy}$ 为直角三角形，顶点为 $(0,0)$，$(1,0)$，$(0,1)$。积分限为 $0 \leq y \leq 1 - x$，$0 \leq x \leq 1$。
步骤 3：计算二重积分
\[ \iint\limits_{S} x \, dS = \sqrt{3} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} x \, dy \, dx = \sqrt{3} \int_{0}^{1} x(1-x) \, dx = \sqrt{3} \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{\sqrt{3}}{6}. \]
步骤 4：利用对称性简化计算
或者，利用对称性 $\iint\limits_{S} x \, dS = \iint\limits_{S} y \, dS = \iint\limits_{S} z \, dS$，曲面面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 \[ 3 \iint\limits_{S} x \, dS = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \iint\limits_{S} x \, dS = \frac{\sqrt{3}}{6}. \]
将平面方程 $x + y + z = 1$ 表示为 $z = 1 - x - y$。曲面元素 $dS$ 可以通过计算曲面的法向量的模来确定。法向量为 $\vec{n} = \nabla (x + y + z - 1) = (1, 1, 1)$，因此 $dS = \sqrt{1 + (-1)^2 + (-1)^2} \, dA = \sqrt{3} \, dA$。
步骤 2：确定积分区域
投影到 $xy$-平面的区域 $D_{xy}$ 为直角三角形，顶点为 $(0,0)$，$(1,0)$，$(0,1)$。积分限为 $0 \leq y \leq 1 - x$，$0 \leq x \leq 1$。
步骤 3：计算二重积分
\[ \iint\limits_{S} x \, dS = \sqrt{3} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} x \, dy \, dx = \sqrt{3} \int_{0}^{1} x(1-x) \, dx = \sqrt{3} \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{\sqrt{3}}{6}. \]
步骤 4：利用对称性简化计算
或者，利用对称性 $\iint\limits_{S} x \, dS = \iint\limits_{S} y \, dS = \iint\limits_{S} z \, dS$，曲面面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 \[ 3 \iint\limits_{S} x \, dS = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \iint\limits_{S} x \, dS = \frac{\sqrt{3}}{6}. \]