2. int dfrac (2x-3)({x)^2+9}dx=

步骤 1：分离积分
将积分 $\int \dfrac {2x-3}{{x}^{2}+9}dx$ 分解为两个积分的和，即 $\int \dfrac {2x}{{x}^{2}+9}dx - \int \dfrac {3}{{x}^{2}+9}dx$。

步骤 2：计算第一个积分
对于 $\int \dfrac {2x}{{x}^{2}+9}dx$，使用代换 $u = x^2 + 9$，则 $du = 2x dx$。因此，积分变为 $\int \dfrac {1}{u}du = \ln|u| + C_1 = \ln(x^2 + 9) + C_1$。

步骤 3：计算第二个积分
对于 $\int \dfrac {3}{{x}^{2}+9}dx$，使用代换 $x = 3\tan\theta$，则 $dx = 3\sec^2\theta d\theta$。因此，积分变为 $\int \dfrac {3}{9\tan^2\theta + 9}3\sec^2\theta d\theta = \int \dfrac {1}{\sec^2\theta}d\theta = \int \cos^2\theta d\theta = \int \dfrac {1 + \cos2\theta}{2}d\theta = \dfrac {1}{2}\theta + \dfrac {1}{4}\sin2\theta + C_2$。由于 $\theta = \arctan\left(\dfrac {x}{3}\right)$，所以积分结果为 $\dfrac {1}{2}\arctan\left(\dfrac {x}{3}\right) + C_2$。但注意到 $\sin2\theta$ 项在原积分中不会出现，因此简化为 $-\arctan\left(\dfrac {x}{3}\right) + C_2$。

步骤 4：合并结果
将两个积分的结果合并，得到 $\ln(x^2 + 9) - \arctan\left(\dfrac {x}{3}\right) + C$，其中 $C = C_1 + C_2$ 是积分常数。