题目
设等差数列(an)的公差为d，且d＞1．令bn=((n)^2+n)/((a)_{n)}，记Sn，Tn．分别为数列(an)，(bn)的前n项和．（1）若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求(an)的通项公式；（2）若(bn)为等差数列，且S99-T99=99，求d．
设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn=$\frac{{n}^{2}+n}{{a}_{n}}$，记Sn，Tn．分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
（1）若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通项公式；
（2）若{bn}为等差数列，且S99-T99=99，求d．
（1）若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通项公式；
（2）若{bn}为等差数列，且S99-T99=99，求d．
题目解答
答案
解：（1）∵3a2=3a1+a3，S3+T3=21，
∴根据题意可得$\left\{\begin{array}{l}{3（{a}_{1}+d）=3{a}_{1}+{a}_{1}+2d}\\{3{a}_{1}+3d+（\frac{2}{{a}_{1}}+\frac{6}{{a}_{1}+d}+\frac{12}{{a}_{1}+2d}）=21}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=d}\\{6d+\frac{9}{d}=21}\end{array}\right.$，
∴2d2-7d+3=0，又d＞1，
∴解得d=3，∴a1=d=3，
∴an=a1+（n-1）d=3n；
（2）∵{an}为等差数列，{bn}为等差数列，且bn=$\frac{{n}^{2}+n}{{a}_{n}}$，
∴根据等差数列的通项公式的特点，可设an=tn，则${b}_{n}=\frac{n+1}{t}$，且d=t＞1；
或设an=k（n+1），则${b}_{n}=\frac{n}{k}$，且d=k＞1，
①当an=tn，${b}_{n}=\frac{n+1}{t}$，d=t＞1时，
则S99-T99=$\frac{（t+99t）×99}{2}$-$（\frac{2}{t}+\frac{100}{t}）×\frac{99}{2}$=99，
∴$50t-\frac{51}{t}=1$，∴50t2-t-51=0，又d=t＞1，
∴解得d=t=$\frac{51}{50}$；
②当an=k（n+1），${b}_{n}=\frac{n}{k}$，d=k＞1时，
则S99-T99=$\frac{（2k+100k）×99}{2}-（\frac{1}{k}+\frac{99}{k}）×\frac{99}{2}$=99，
∴$51k-\frac{50}{k}=1$，∴51k2-k-50=0，又d=k＞1，
∴此时k无解，
∴综合可得d=$\frac{51}{50}$．
∴根据题意可得$\left\{\begin{array}{l}{3（{a}_{1}+d）=3{a}_{1}+{a}_{1}+2d}\\{3{a}_{1}+3d+（\frac{2}{{a}_{1}}+\frac{6}{{a}_{1}+d}+\frac{12}{{a}_{1}+2d}）=21}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=d}\\{6d+\frac{9}{d}=21}\end{array}\right.$，
∴2d2-7d+3=0，又d＞1，
∴解得d=3，∴a1=d=3，
∴an=a1+（n-1）d=3n；
（2）∵{an}为等差数列，{bn}为等差数列，且bn=$\frac{{n}^{2}+n}{{a}_{n}}$，
∴根据等差数列的通项公式的特点，可设an=tn，则${b}_{n}=\frac{n+1}{t}$，且d=t＞1；
或设an=k（n+1），则${b}_{n}=\frac{n}{k}$，且d=k＞1，
①当an=tn，${b}_{n}=\frac{n+1}{t}$，d=t＞1时，
则S99-T99=$\frac{（t+99t）×99}{2}$-$（\frac{2}{t}+\frac{100}{t}）×\frac{99}{2}$=99，
∴$50t-\frac{51}{t}=1$，∴50t2-t-51=0，又d=t＞1，
∴解得d=t=$\frac{51}{50}$；
②当an=k（n+1），${b}_{n}=\frac{n}{k}$，d=k＞1时，
则S99-T99=$\frac{（2k+100k）×99}{2}-（\frac{1}{k}+\frac{99}{k}）×\frac{99}{2}$=99，
∴$51k-\frac{50}{k}=1$，∴51k2-k-50=0，又d=k＞1，
∴此时k无解，
∴综合可得d=$\frac{51}{50}$．
解析
步骤 1：利用等差数列的性质
由于3a_2=3a_1+a_3，根据等差数列的性质，可以得到3(a_1+d)=3a_1+(a_1+2d)，从而得到a_1=d。
步骤 2：利用S_3+T_3=21求解d
根据等差数列的求和公式，S_3=3a_1+3d，T_3=$\frac{2}{{a}_{1}}+\frac{6}{{a}_{1}+d}+\frac{12}{{a}_{1}+2d}$，将a_1=d代入，得到$3d+3d+（\frac{2}{d}+\frac{6}{2d}+\frac{12}{3d}）=21$，化简得到$6d+\frac{9}{d}=21$，从而得到$2d^{2}-7d+3=0$，解得d=3。
步骤 3：求解{a_n}的通项公式
由于a_1=d=3，所以a_n=a_1+(n-1)d=3n。
【答案】
a_n=3n。
（2）根据题意，我们首先需要利用给定的条件来求解等差数列{a_n}的公差d。
【解析】
步骤 1：利用{b_n}为等差数列的性质
由于{b_n}为等差数列，且b_n=$\frac{{n}^{2}+n}{{a}_{n}}$，根据等差数列的通项公式的特点，可以设a_n=tn，则${b}_{n}=\frac{n+1}{t}$，且d=t＞1；或设a_n=k（n+1），则${b}_{n}=\frac{n}{k}$，且d=k＞1。
步骤 2：利用S_99-T_99=99求解d
当a_n=tn，${b}_{n}=\frac{n+1}{t}$，d=t＞1时，S_99-T_99=$\frac{（t+99t）×99}{2}$-$（\frac{2}{t}+\frac{100}{t}）×\frac{99}{2}$=99，从而得到$50t-\frac{51}{t}=1$，解得d=t=$\frac{51}{50}$。
步骤 3：验证其他情况
当a_n=k（n+1），${b}_{n}=\frac{n}{k}$，d=k＞1时，S_99-T_99=$\frac{（2k+100k）×99}{2}-（\frac{1}{k}+\frac{99}{k}）×\frac{99}{2}$=99，从而得到$51k-\frac{50}{k}=1$，解得k无解。
由于3a_2=3a_1+a_3，根据等差数列的性质，可以得到3(a_1+d)=3a_1+(a_1+2d)，从而得到a_1=d。
步骤 2：利用S_3+T_3=21求解d
根据等差数列的求和公式，S_3=3a_1+3d，T_3=$\frac{2}{{a}_{1}}+\frac{6}{{a}_{1}+d}+\frac{12}{{a}_{1}+2d}$，将a_1=d代入，得到$3d+3d+（\frac{2}{d}+\frac{6}{2d}+\frac{12}{3d}）=21$，化简得到$6d+\frac{9}{d}=21$，从而得到$2d^{2}-7d+3=0$，解得d=3。
步骤 3：求解{a_n}的通项公式
由于a_1=d=3，所以a_n=a_1+(n-1)d=3n。
【答案】
a_n=3n。
（2）根据题意，我们首先需要利用给定的条件来求解等差数列{a_n}的公差d。
【解析】
步骤 1：利用{b_n}为等差数列的性质
由于{b_n}为等差数列，且b_n=$\frac{{n}^{2}+n}{{a}_{n}}$，根据等差数列的通项公式的特点，可以设a_n=tn，则${b}_{n}=\frac{n+1}{t}$，且d=t＞1；或设a_n=k（n+1），则${b}_{n}=\frac{n}{k}$，且d=k＞1。
步骤 2：利用S_99-T_99=99求解d
当a_n=tn，${b}_{n}=\frac{n+1}{t}$，d=t＞1时，S_99-T_99=$\frac{（t+99t）×99}{2}$-$（\frac{2}{t}+\frac{100}{t}）×\frac{99}{2}$=99，从而得到$50t-\frac{51}{t}=1$，解得d=t=$\frac{51}{50}$。
步骤 3：验证其他情况
当a_n=k（n+1），${b}_{n}=\frac{n}{k}$，d=k＞1时，S_99-T_99=$\frac{（2k+100k）×99}{2}-（\frac{1}{k}+\frac{99}{k}）×\frac{99}{2}$=99，从而得到$51k-\frac{50}{k}=1$，解得k无解。