题目
16.(10分)-|||-已知指数函数 y=g(x) 满足 g(3)=8 ,定义域为R-|||-的函数 (x)=dfrac (n-g(x))(m+2g(x)) 是奇函数.-|||-(1)确定 y=g(x) =f(x) 的解析式;-|||-(2)若对任意 in [ 1,4] , 不等式 (2t-3)+f(t-k)gt 0 恒-|||-成立,求实数k的取值范围.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 y=g(x) 的解析式
由题意知g(x)是指数函数，设 $g(x)=a^x$ (a>0且a≠1)，由 g(3)=8 得 ${a}^{3}=8$，解得 $a=2$，所以 $g(x)={2}^{x}$。
步骤 2：确定 y=f(x) 的解析式
因为 $f(x)=\dfrac {n-g(x)}{m+2g(x)}$ 是奇函数，所以 $f(0)=\dfrac {n-1}{m+2}=0$，解得 $n=1$，所以 $f(x)=\dfrac {1-{2}^{x}}{m+{2}^{x+1}}$。
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以 $f(x)+f(-x)=0$，即 $\dfrac {1-{2}^{x}}{m+{2}^{x+1}}+\dfrac {1-{2}^{-x}}{m+{2}^{-x+1}}=0$，化简得 $(2-m)(1-{2}^{x})=0$，所以 $m=2$。因此 $f(x)=\dfrac {1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$。
步骤 3：求实数k的取值范围
由(1)得 $f(x)=\dfrac {1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}=-\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{{2}^{x}+1}$，所以f(x)是在R上单调递减的奇函数。
又因为对任意 $t\in [ 1,4] $，不等式 $f(2t-3)+f(t-k)\gt 0$ 恒成立，所以 $f(2t-3)\gt -f(t-k)=f(k-t)$，则 $2t-3\lt k-t$，即 $k\gt 3t-3$。
又因为 $3t-3\in [ 0,9] $，所以 $k\gt 9$。
由题意知g(x)是指数函数，设 $g(x)=a^x$ (a>0且a≠1)，由 g(3)=8 得 ${a}^{3}=8$，解得 $a=2$，所以 $g(x)={2}^{x}$。
步骤 2：确定 y=f(x) 的解析式
因为 $f(x)=\dfrac {n-g(x)}{m+2g(x)}$ 是奇函数，所以 $f(0)=\dfrac {n-1}{m+2}=0$，解得 $n=1$，所以 $f(x)=\dfrac {1-{2}^{x}}{m+{2}^{x+1}}$。
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以 $f(x)+f(-x)=0$，即 $\dfrac {1-{2}^{x}}{m+{2}^{x+1}}+\dfrac {1-{2}^{-x}}{m+{2}^{-x+1}}=0$，化简得 $(2-m)(1-{2}^{x})=0$，所以 $m=2$。因此 $f(x)=\dfrac {1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$。
步骤 3：求实数k的取值范围
由(1)得 $f(x)=\dfrac {1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}=-\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{{2}^{x}+1}$，所以f(x)是在R上单调递减的奇函数。
又因为对任意 $t\in [ 1,4] $，不等式 $f(2t-3)+f(t-k)\gt 0$ 恒成立，所以 $f(2t-3)\gt -f(t-k)=f(k-t)$，则 $2t-3\lt k-t$，即 $k\gt 3t-3$。
又因为 $3t-3\in [ 0,9] $，所以 $k\gt 9$。