题目
;(11) int dfrac (x+1)({x)^2+2x+5}dx ;
题目解答
答案
：原式$=\int \dfrac {x+1}{{x}^{2}+2x+5}dx$
$=\dfrac {1}{2}\int \dfrac {1}{{x}^{2}+2x+5}d{x}^{2}+2x+5$
$=\dfrac {1}{2}ln({x}^{2}+2x+5)+C$
$\dfrac {1}{2}ln({x}^{2}+2x+5)+C$
$=\dfrac {1}{2}\int \dfrac {1}{{x}^{2}+2x+5}d{x}^{2}+2x+5$
$=\dfrac {1}{2}ln({x}^{2}+2x+5)+C$
$\dfrac {1}{2}ln({x}^{2}+2x+5)+C$
解析
步骤 1：观察积分形式
观察到积分形式为 $\int \dfrac {x+1}{{x}^{2}+2x+5}dx$，其中分子是分母的导数的一部分，这提示我们可以通过换元法简化积分。
步骤 2：换元
设 $u = x^2 + 2x + 5$，则 $du = (2x + 2)dx = 2(x + 1)dx$，因此 $\dfrac{1}{2}du = (x + 1)dx$。
步骤 3：代入换元
将换元后的表达式代入原积分，得到 $\int \dfrac {x+1}{{x}^{2}+2x+5}dx = \int \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {1}{u}du$。
步骤 4：积分
对 $\int \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {1}{u}du$ 进行积分，得到 $\dfrac {1}{2} \int \dfrac {1}{u}du = \dfrac {1}{2} \ln|u| + C$。
步骤 5：回代
将 $u = x^2 + 2x + 5$ 回代，得到 $\dfrac {1}{2} \ln|x^2 + 2x + 5| + C$。
观察到积分形式为 $\int \dfrac {x+1}{{x}^{2}+2x+5}dx$，其中分子是分母的导数的一部分，这提示我们可以通过换元法简化积分。
步骤 2：换元
设 $u = x^2 + 2x + 5$，则 $du = (2x + 2)dx = 2(x + 1)dx$，因此 $\dfrac{1}{2}du = (x + 1)dx$。
步骤 3：代入换元
将换元后的表达式代入原积分，得到 $\int \dfrac {x+1}{{x}^{2}+2x+5}dx = \int \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {1}{u}du$。
步骤 4：积分
对 $\int \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {1}{u}du$ 进行积分，得到 $\dfrac {1}{2} \int \dfrac {1}{u}du = \dfrac {1}{2} \ln|u| + C$。
步骤 5：回代
将 $u = x^2 + 2x + 5$ 回代，得到 $\dfrac {1}{2} \ln|x^2 + 2x + 5| + C$。