题目
8.设随机变量X服从泊松分布，且P(Xleq1)=4P(X=2)，则P(X=3)=(1)/(6)e^-1。
8.设随机变量X服从泊松分布，且$P(X\leq1)=4P(X=2)$，则$P(X=3)=\frac{1}{6}e^{-1}$。
题目解答
答案
根据泊松分布的概率质量函数 $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，由条件 $P(X \leq 1) = 4P(X = 2)$，得：
\[
e^{-\lambda}(1 + \lambda) = 4 \cdot \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2} \implies 1 + \lambda = 2\lambda^2 \implies \lambda = 1
\]
（解二次方程得 $\lambda = 1$，舍去负解。）
代入 $\lambda = 1$ 计算 $P(X = 3)$：
\[
P(X = 3) = \frac{1^3 e^{-1}}{3!} = \frac{e^{-1}}{6} = \frac{1}{6} e^{-1}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{1}{6} e^{-1}}$
解析
步骤 1：确定泊松分布的概率质量函数
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $\lambda$ 是泊松分布的参数，$k$ 是随机变量 $X$ 的取值。
步骤 2：根据给定条件建立方程
根据题目条件 $P(X \leq 1) = 4P(X = 2)$，可以写出：
\[ P(X = 0) + P(X = 1) = 4P(X = 2) \]
代入泊松分布的概率质量函数，得：
\[ e^{-\lambda} + \lambda e^{-\lambda} = 4 \cdot \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2} \]
化简得：
\[ e^{-\lambda}(1 + \lambda) = 2\lambda^2 e^{-\lambda} \]
进一步化简得：
\[ 1 + \lambda = 2\lambda^2 \]
步骤 3：求解方程
解方程 $1 + \lambda = 2\lambda^2$，得：
\[ 2\lambda^2 - \lambda - 1 = 0 \]
解这个二次方程，得：
\[ \lambda = 1 \quad \text{或} \quad \lambda = -\frac{1}{2} \]
由于 $\lambda$ 是泊松分布的参数，必须是非负的，因此舍去负解，得 $\lambda = 1$。
步骤 4：计算 $P(X = 3)$
代入 $\lambda = 1$，计算 $P(X = 3)$：
\[ P(X = 3) = \frac{1^3 e^{-1}}{3!} = \frac{e^{-1}}{6} = \frac{1}{6} e^{-1} \]
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $\lambda$ 是泊松分布的参数，$k$ 是随机变量 $X$ 的取值。
步骤 2：根据给定条件建立方程
根据题目条件 $P(X \leq 1) = 4P(X = 2)$，可以写出：
\[ P(X = 0) + P(X = 1) = 4P(X = 2) \]
代入泊松分布的概率质量函数，得：
\[ e^{-\lambda} + \lambda e^{-\lambda} = 4 \cdot \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2} \]
化简得：
\[ e^{-\lambda}(1 + \lambda) = 2\lambda^2 e^{-\lambda} \]
进一步化简得：
\[ 1 + \lambda = 2\lambda^2 \]
步骤 3：求解方程
解方程 $1 + \lambda = 2\lambda^2$，得：
\[ 2\lambda^2 - \lambda - 1 = 0 \]
解这个二次方程，得：
\[ \lambda = 1 \quad \text{或} \quad \lambda = -\frac{1}{2} \]
由于 $\lambda$ 是泊松分布的参数，必须是非负的，因此舍去负解，得 $\lambda = 1$。
步骤 4：计算 $P(X = 3)$
代入 $\lambda = 1$，计算 $P(X = 3)$：
\[ P(X = 3) = \frac{1^3 e^{-1}}{3!} = \frac{e^{-1}}{6} = \frac{1}{6} e^{-1} \]