题目
3.设实数a∈(0,1).数列(x_{n)}满足x_(0)=1,且对任意正整数n,均有x_(n)=(1)/(x_(n-1))+a.证明:对任意正整数n,有x_(n)>1.
3.设实数a∈(0,1).数列{$x_{n}$}满足$x_{0}=1$,且对任意正整数n,均有$x_{n}=\frac{1}{x_{n-1}}+a$.证明:对任意正整数n,有$x_{n}>1$.
题目解答
答案
**证明：**
1. **基础情况：**
当 $n=1$ 时，$x_1 = \frac{1}{x_0} + a = 1 + a > 1$（因为 $a \in (0,1)$），成立。
2. **归纳假设：**
假设 $x_k > 1$ 对于某个正整数 $k$ 成立。
3. **归纳步骤：**
考虑 $x_{k+1} = \frac{1}{x_k} + a$。由归纳假设 $x_k > 1$，则 $\frac{1}{x_k} \in (0,1)$。
又因为 $a \in (0,1)$，所以 $x_{k+1} = \frac{1}{x_k} + a \in (a, 1 + a)$。
由于 $1 + a > 1$，故 $x_{k+1} > 1$。
由数学归纳法，对任意正整数 $n$，有 $x_n > 1$。
\[
\boxed{x_n > 1}
\]