设随机变量X的分布函数为F(x)= A + B arctan x, -infty A. A = (1)/(3), B = (1)/(pi)B. A = (1)/(2), B = (1)/(pi)C. A = (1)/(2), B = (1)/(2pi)D. A = (1)/(3), B = (1)/(2pi)

考查要点：本题主要考查分布函数的基本性质及其应用，特别是利用分布函数在无穷远处的极限值来确定未知参数。

解题核心思路：
分布函数$F(x)$必须满足两个关键条件：

1. 当$x \to +\infty$时，$F(x) \to 1$；
2. 当$x \to -\infty$时，$F(x) \to 0$。

通过代入这两个极限条件，可以建立关于$A$和$B$的方程组，进而求解。

破题关键点：

• 正确写出$\arctan x$在$x \to +\infty$和$x \to -\infty$时的极限值（分别为$\frac{\pi}{2}$和$-\frac{\pi}{2}$）。
• 建立方程并解出$A$和$B$。

根据分布函数的性质，分两步分析：

当$x \to +\infty$时

$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$，此时分布函数应满足：
$F(+\infty) = A + B \cdot \frac{\pi}{2} = 1 \quad \text{(1)}$

当$x \to -\infty$时

$\arctan x \to -\frac{\pi}{2}$，此时分布函数应满足：
$F(-\infty) = A + B \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 \quad \text{(2)}$

联立方程求解

将方程(1)和(2)联立：

1. $A + \frac{B\pi}{2} = 1$
2. $A - \frac{B\pi}{2} = 0$

解方程：

• 由方程(2)得：$A = \frac{B\pi}{2}$
• 将$A = \frac{B\pi}{2}$代入方程(1)：
  $\frac{B\pi}{2} + \frac{B\pi}{2} = 1 \implies B\pi = 1 \implies B = \frac{1}{\pi}$
• 代入$A = \frac{B\pi}{2}$得：
  $A = \frac{\left(\frac{1}{\pi}\right)\pi}{2} = \frac{1}{2}$

结论：$A = \frac{1}{2}$，$B = \frac{1}{\pi}$，对应选项B。