题目
证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关, 并计算积分值: (1) (int )_((1,1))^(-2)(x+y)dx+(x-y)dy .; (2) (int )_((1,1))^(-2)(x+y)dx+(x-y)dy .; (3) (int )_((1,1))^(-2)(x+y)dx+(x-y)dy ..
证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关, 并计算积分值:
(1)
;
(2)
;
(3)
.
题目解答
答案
解(1) P=x+y, Q=x-y, 显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏
导数, 而且
,
故在整个xOy面内, 积分与路径无关.
取L为点(1, 1)到(2, 3)的直线y=2x-1, x从1变到2, 则
.
(2) P=6xy2-y3, Q=6x2y-3xy2, 显然P、Q在整个xOy面内具有一
阶连续偏导数, 并且
, 故积分与路径无关, 取路径
(1, 2)→(1, 4)→(3, 4)的折线, 则
.
(3) P=2xy-y4+3, Q=x2-4xy3, 显然P、Q在整个xOy面内具有一
阶连续偏导数, 并且
, 所以在整个xOy面内积分与
路径无关, 选取路径为从(1, 0)→(1, 2)→(2, 1)的折线, 则
.
解析
步骤 1：验证积分与路径无关
对于每个积分，我们首先需要验证积分与路径无关。这可以通过检查积分的被积函数是否满足全微分条件来实现。具体来说，如果积分的被积函数可以表示为某个函数的全微分，那么积分与路径无关。对于一个二元函数$P(x,y)dx + Q(x,y)dy$，如果$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，则积分与路径无关。
步骤 2：计算积分值
对于每个积分，我们选择一条从起点到终点的路径来计算积分值。通常，我们可以选择一条直线路径或分段的直线路径来简化计算。
对于每个积分，我们首先需要验证积分与路径无关。这可以通过检查积分的被积函数是否满足全微分条件来实现。具体来说，如果积分的被积函数可以表示为某个函数的全微分，那么积分与路径无关。对于一个二元函数$P(x,y)dx + Q(x,y)dy$，如果$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，则积分与路径无关。
步骤 2：计算积分值
对于每个积分，我们选择一条从起点到终点的路径来计算积分值。通常，我们可以选择一条直线路径或分段的直线路径来简化计算。